解答题规范练
三角函数的综合应用
(推荐时间：70分钟)
1． 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，sin 2x)，x∈R.
(1)若函数f(x)＝1－，且x∈，求x的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解　(1)依题设得f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝2sin＋1.
由2sin＋1＝1－，得sin＝－.
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴2x＋＝－，即x＝－.
(2)当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)时，函数y＝f(x)单调递增，即函数y＝f(x)的单调增区间为(k∈Z)，
x
0
π
y
2
3
2
0
－1
0
2
2． 已知向量a＝(cos x＋sin x，sin x)，b＝(cos x－sin x，2cos x)，函数f(x)＝a·b－cos 2x.
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若f(θ)＝，θ∈，求sin 2θ的值．
解　(1)f(x)＝a·b－cos 2x
＝(cos x＋sin x)(cos x－sin x)＋sin x·2cos x－cos 2x
＝cos2x－3sin2x＋2sin xcos x－cos 2x
＝cos2x－sin2x－2sin2x＋2sin xcos x－cos 2x
＝cos 2x＋sin 2x－1
＝2sin－1，
f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由(1)知f(θ)＝2sin－1，
由题设2sin－1＝，即sin＝，
∵θ∈，∴2θ＋∈，
∴cos＝－，
∴sin 2θ＝sin＝sincos －cossin
＝×－×＝.
3． 已知向量m＝与n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角．
(1)求角A的大小；
(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值．
解　(1)∵m∥n，∴sin A·(sin A＋cos A)－＝0.
∴＋sin 2A－＝0，
即sin 2A－cos 2A＝1，
即sin＝1.
∵A∈(0，π)，∴2A－∈.
故2A－＝，A＝.
(2)∵BC＝2，由余弦定理得b2＋c2－bc＝4，
又b2＋c2≥2bc，∴bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，
从而S△ABC＝bcsin A＝bc≤×4＝.
即△ABC面积S的最大值为.
4． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若B为钝角，b＝10，求a的取值范围．
解　(1)由正弦定理，设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝三角函数表格0到90，
即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，所以sin C＝3sin A，
因此＝3.
(2)由＝3得c＝3a.
由题意知，
又b＝10，所以<a<.
5． 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知函数f(x)的图象上的三点M，N，P的横坐标分别为－1,1,5，求sin∠MNP的值．
解　(1)由图可知，A＝1，最小正周期T＝4×2＝8.
由T＝＝8，得ω＝.
又f(1)＝sin＝1，且－<φ<，
所以＋φ＝，解得φ＝.
所以f(x)＝sin.
(2)因为f(－1)＝0，f(1)＝1，
f(5)＝sin＝－1，
所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)．
所以|MN|＝，|PN|＝，|MP|＝.
由余弦定理得
cos∠MNP＝＝－.
因为∠MNP∈(0，π)，
所以sin∠MNP＝.
6． 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π.
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．
解　(1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，
∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．