二叉树定价模型
期权定价的二叉树模型
Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和
期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指
数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1一步二叉树模型
我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可
能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步
（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期
日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到
相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一
二叉树公式个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期
权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相
等，即有
由此可得
(8.1)
上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ，又注意到该组合的当前价值是，故有
即
将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为
(8.2)
(8.3)
需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .
现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
已知：
且在期权到期日，当时，该看涨权的价值为而当时，该看涨权的价值为
根据(8.3)和(8.2)，可得
.
上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经
隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是，在时间的期望股票价格为
如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有
于是，我们有
由此可得
与(8.3)比较，我们发现：，这就是参数的含义，我们称之为风险中性状态下股价上升的概率。