《三角函数及解直角三角形》
1．三角函数定义：如图R t △ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°°
正弦：斜边
的对边
A A Ð=sin ；c a
A =sin
余弦：斜边的邻边
A A Ð
=cos ；c b A =cos
正切：的邻边的对边
A tan ÐÐ=A A ；b
a A =tan
根据定义，写出∠根据定义，写出∠B B 的三个三角函数值的三个三角函数值
=B sin ______________________；；=B cos ________________________；；=B tan ______________________________；；
c
a
b
B
C
A
2．三角函数之间关系．三角函数之间关系  （1）同角三角函数关系）同角三角函数关系
A
A
A cos sin
tan =；1cos sin 2
2=+A A
模仿写出：=B tan ________________________；；1cos sin 2
2
=+B B  （2）互余角三角函数关系（）互余角三角函数关系（A A ＋B ＝9090））
B A cos sin =；B A sin cos =；tanA tanA··tanB tanB＝＝1
一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦
3．特殊角的三角函数值3030°、°、°、454545°、°、°、606060°°
三角函数三角函数  3030°° 4545°° 6060°° a sin
a cos    a tan
4．会设计并根据三角函数关系计算15°、°、757575°角的三角函数°角的三角函数°角的三角函数
D
C B
A
5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性  当0°≤a ≤9090°时，°时，°时，
sin a 随a 的增大而的增大而_____________________；；cos a 随a 的增大而的增大而_____________________；；tan a 随a 的增大而的增大而_______ _______
6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。（根据三角函数关系）（根据三角函数关系）  例题：sin A ＝5
2
，
求cosA cosA、、tanA
注意：（1）正弦、余弦、正切、都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；形随便套用定义；
（2）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；
（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。  （4）当０°≤α≤９０°时，０≤a sin ≤１，０≤a cos ≤１。≤１。  7．解直角三角形的定义及应用．解直角三角形的定义及应用
(1)(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角
铅垂线
水平线
视线
视线
俯角
(2)(2)坡面的铅直高度坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度的比叫做坡度((坡比坡比))。用字母i 表示，表示，即即h
i l
=
。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作a (叫做坡角叫做坡角))，那么
tan h
i l
a =
=。 （3）指北或指南方向线与目标方向指北或指南方向线与目标方向  线所成的小于9090°的水平角，°的水平角，°的水平角，叫做方向角。叫做方向角。叫做方向角。如图如图如图,OA ,OA ,OA、、OB OB、、OC OC、、OD 的方向角分别是：北偏东4545°（东北方向）°（东北方向）°（东北方向）  ，      南偏东南偏东4545°（东南方向）°（东南方向）， 南偏西4545°（西南方向）°（西南方向），      北偏西北偏西4545°（西北方向）°（西北方向）
。
（4）解非直角三角形的方法）解非直角三角形的方法
对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：  作垂线构成直角三角形；
利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 （5）解直角三角形的实际应用的步骤）解直角三角形的实际应用的步骤  审题
①分析题意，理解实际问题的意义，看懂题目给出的示意图或自己画出的示意图，出要解的直角三角形；解的直角三角形；
②把实际问题中的数量关系，转移到直角三角形的各元素上，出已知元素和未知元素；②把实际问题中的数量关系，转移到直角三角形的各元素上，出已知元素和未知元素；
③根据已知元素和未知元素之间的关系，选择合适的三角函数关系式。 解题注意精确度
答注意答的完整及注明单位
（6）解斜三角形所根据的定理）解斜三角形所根据的定理 ( ( (在△在△在△ABC ABC 中) 正弦定理：正弦定理：
C
c
B b A a sin sin sin =
=＝2R.  (R 是△是△ABC ABC 外接圆半径外接圆半径). ). 余弦定理：余弦定理：  c 2
＝a 2
＋b 2
－2abcosC 2abcosC；； b 2
＝c 2
＋a 2
－2cacosB 2cacosB；； a 2
＝c 2
＋b 2
－2bccosA. 如图，在△如图，在△ABC ABC 中，证明上面公式中的一个即可
中，证明上面公式中的一个即可
B C
A
三角形的三角函数计算面积：B ac A bc C ab S
ABC
sin 2
1sin 21sin 21
===
D  在下面图形中证明上面面积公式中的一个即可
在下面图形中证明上面面积公式中的一个即可
B
C
A
（7）解直角三角形应用常见基本图形）解直角三角形应用常见基本图形
22
311
D
B C
A 45°
30°
3
2
6
3
1
D
B
C A
45°
60°
30°
2
2
3-
1
1
1D
B
三角函数表格0到90C A
45°
3
6
2
3-
1
1
D
B
C
A
45°
60°30°
3
23
2
1
2
D
B
C
A
60°