Value Engineering
0引言
谐波分析在控制系统、电能质量监控、精密机械、电子产品生产检验、输电线路设备监控等领域被广泛应用；而准确、快速、有效的谐波分析方法是进行相关检测、监控、分析的技术基础。目前，信号谐波分析存在的运算量大、计算时间长、实时性差等技术瓶颈。
信号频谱和信号本身同样是现实可以观测的，可以通过频谱分析仪来观测信号的频谱。比如图像颜不同是由于频率的差异，声音音调不同，也是因为频率的差异。而用正交函数集表示任意信号可以得到比较简单而又足够精确的表示式，因此，把信号表示为一组不同频率的复指数函数或正弦信号的加权和，对信号进行频谱分析，为基于MATLAB 仿真的FFT （快速傅里叶变换）提供理论依据。
1周期信号傅里叶级数与傅里叶变换
把信号表示为一组不同频率的复指数函数或正弦信号的加权和，称为信号的频谱分析或傅里叶分析，简称信号的谱分析。用频谱分析的观点分析系统，称为系统的傅里叶分析。
如果一个信号x （t ）是周期性的，那么对一切t 有一个非零正值T 使得下式成立：（1）x （t ）的基波周期T 0就是满足T 中的最小非零正值，而基波角频率
（2）
正弦函数cos ω0t 和复指数函数e
j ω0t
都是周期信号，
其角频率为ω0，周期为（3）
呈谐波关系
的复指数函数集
（4）
也是周期信号，其中每个分量的角频率是ω0的整数倍。用这些函数加权组合而成的信号
（5）
也是以T 0为周期的周期信号。其中n=0的项c 0为常
数项或者直流分量；n=+1或者n=-1这两项的周期都是基波周期T 0，两者合在一起称为基波分量或者一次谐波分量；n=+2或者n=-2这两项的周期是基波周期的一半，频率是基波周期的两倍，称为二次谐波分量，以此类推n=+N ，或者n=-N 的分量称为N 次谐波分量。将周期信号表示成式（5）的形式，即一组成谐波关系的复指数函数的加权和，即为傅里叶级数表示。对于周期
性矩脉冲，
（6）
周期性函数的傅里叶级数等效于把函数分解成它的各频率正（余）弦分量，简称为频率分量。任一周期信号都具有它的频谱，周期信号的频谱可以根据其复指数形式的傅里叶级数绘出。由于复指数傅里叶系数c n 概括了谐波振幅和相位两个物理量，所以用复指数傅里叶系数c n 表示频谱，在工程上更为有用。
2矩形波及其傅里叶级数分析若方波的周期为T ，幅度为1，该方波可记作s
（t ），并有
（7）
其中
表示向下取整。s （t ）的波形如图1所示。
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—基金项目：湖南省教育厅自科类一般项目，“基于声子晶体局域
共振机理的地铁车辆减振特性研究”（20C0872）；湖南科技职业学院自科类一般项目，“基于嵌入式技术的多传感器技术融合研究”（KJ21234）。
作者简介：李瑶（1988-），女，湖南湘潭人，讲师，硕士研究生，研
究方向为电子与通信、嵌入式技术、工业互联。
基于
仿真的方波信号谐波分析
Harmonic Analysis of Square Wave Signal Based on MATLAB Simulation
李瑶①LI Yao ；黄毅②HUANG Yi ；邓赞①DENG Zan ；曾超③ZENG Chao
（①湖南科技职业学院智能装备技术学院，长沙410000；②河南工业大学信息科学与工程学院，郑州450001；
③河南工业大学人工智能与大数据学院，郑州450001）
（①School of Intelligent Equipment Technology ，Hunan Vocational College of Science and Technology ，Changsha 410000，China ；
②School of Information Science and Engineering ，Henan University of Technology ，Zhengzhou 450001，China ；③School of Artificial Intelligence and Big Data ，Henan University of Technology ，Zhengzhou 450001，China ）摘要：通过分析连续周期方波信号的傅里叶级数和傅里叶变换的关系，为谐波分析提供理论依据。针对目前谐波分析存在的运算
量大、计算时间长、实时性差等技术瓶颈，采用MATLAB 仿真，用信号发生器和示波器模拟谐波叠加过程，通过FFT （快速傅里叶变换）对信号频谱进行分析。
Abstract:By analyzing the relationship between Fourier series and Fourier transform of continuous periodic square wave signal,theoretical basis is provided for harmonic analysis.In view of the current
technical bottlenecks of harmonic analysis,such as large amount of calculation,long calculation time and poor real -time performance,MATLAB simulation is adopted,and the process of harmonic superposition is simulated with a signal generator and oscilloscope.The signal spectrum is analyzed through FFT (Fast Fourier transform).
关键词：傅里叶变换；谐波分析；MATLAB 仿真；频谱分析Key words:Fourier transform ；harmonic analysis ；MATLAB simulation ；spectrum analysis 中图分类号:TN911.6文献标识码:A 文章编号:1006-4311（2023）20-111-03doi:10.3969/j.issn.1006-4311.2023.20.035
s（t）的傅里叶级数可以写成如下形式：
（8）表1为该方波的各频率成分的基本特征，由于s（t）方波属于奇半波对称和奇对称，所以只含有奇次正弦项，因此偶次谐波分量的幅度均为0。
为更好地进行谐波分析，利用MATLAB对该方波的各
分量及其叠加进行仿真，图2是周期为T，幅度为1的方波的各分量示意图；图3为该方波的谐波叠加过程示意图。
从MATLAB仿真方波分量图可知，该方波只有奇次谐波分量，偶次谐波分量幅度均为0。且幅度A n随
着n的增加而减少。普线长度随谐波次数的增高趋于收敛。理论上，周期信号的谐波含量是无限多，其频谱应包含无数多条谱线。
从MATLAB仿真方波的谐波叠加过程，可以发现，n 取得越高，效果越逼近于方波，但边角处明显有突出的毛刺，这也称之为吉布斯现象。将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。
为更好地验证方波的谐波叠加过程，采用仿真软件对这一过程进行仿真。
3矩形波的幅频特性与相频特性分析
采用FFT算法对矩形波幅频特性和相频特性进行分析，FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。周期性矩形脉冲信号的频谱是离散的，谱线间隔为ω0，即各次谐波仅存在与基频ω0的整数倍上；而且，普线长度随谐波次数的增高趋于收敛。理论上，周期信号的谐波含量是无限多，其频谱应包含无数多条谱线。设ω0=2π/ T0，通过MATLAB的FFT仿真，得到方波s（t）的幅频特性
分量直流基波2次谐波3次谐波4次谐波5次谐波6次谐波7次谐波8次谐波
频率幅度A n 相位φn 01/2
-
2π/T1/π
matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱
-π/2
4π/T0
-
6π/T1/3π
-π/2
8π/T0
-
10π/T1/5π
-π/2
12π/T0
-
14π/T1/7π
-π/2
16π/T0
-
表1方波各频率成分的基本特征
图1方波波形示意图
幅值
时间
（a）基波；（b）2次谐波；（c）~（h）分别为3-8次谐波
图2方波的各分量示意图
幅值
时间时间时间时间
幅值幅值幅值（a）（b）（c）（d）
（e）（f）（g）（h）
幅值
时间
幅值
时间
幅值
时间
幅值
时间
Value Engineering
和相频特性如图4所示。
从仿真结果可见，高次谐波虽然有时起伏，但总的趋势是逐渐减小的。正由于谐波振幅的这种收敛性，在工程上往往只考虑对波形影响较大的较低频率分量，而把对波形影响不太大的高频分量忽略不计。
4总结
对连续周期信号进行谐波分析，提出在采用FFT 算法，算法简单。从原理出发，分析了周期信号傅里叶级数和傅里叶变换的关系，从而导出奇半波对称和奇对称的矩形脉冲谐波分析的表达式，而且还可
以通过使用MATLAB 仿真，对连续矩形脉冲信号进行谐波叠加分析和频谱分析，但谐波叠加次数选择还不够充分，有待进一步分析与研究。
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（a ）直流与基波的叠加；（b ）直流与前2次谐波的叠加；（c ）~（h ）分别为直流与前3-8次谐波的叠加
图3方波的谐波叠加过程示意图
幅值时间幅值时间幅值时间幅值
时间
幅值
时间
幅值
时间幅值
时间幅值
时间（a ）（b ）（c ）
（d ）
（e ）（f ）（g ）（h ）
（a ）单边幅度谱
（b ）单边相位谱
图4方波的频谱示意图
ω
π/2
-π/2
10Ω
20Ω
ω
10Ω20Ω
0.5