对数及其运算
第3讲：对数及其运算
【复习要求】
1、理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化；
2、初步学会换底公式的基本运用；
3、掌握积、商、幂的对数性质。会用计算器求对数。
【知识要点】
1、对数的定义：如果(01)a a a >≠且的b 次幂等于N ，那么b 称为以a 为底N 的对数，记作：log a b N =，其中a 称为底数，N 称为真数。
2、指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=；
3、对数恒等式：N a
N
a =log （0,01N a a >>≠且）。
4、换底公式及衍生性质：
()1 log log log m a m N
N a
= (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)
()2a
b b a log 1log =
，()3c c b a b a log log log =?， ()4b n m b a m
a n
l o g l o g = 5、对数的运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有
log ()log log a a a MN M N =+； l o g l o g l o g a
a a M
M N N
=-；
log log n a a M n M =； 1
log log n a a M M n
= 【基础训练】
1、如果2
(0,1)a b b b =>≠，则有 （ D ） （A ）2log a b = （B ）2log b a = （C ）log 2a b = （D ）log 2b a = 2、若2521
log 3log 3
m =
+，则有 （ B ） （A ）12m << （B ）23m << （C ）34m << （D ）45m << 3、已知：25lg m =，则lg 2= 1
12
m -
（用m 表示） 4、计算：（1）2
lg 4lg 92lg 6lg 361++-+= 2
（2）2234
1222
3log (8log 16)log log +-= 60
5、若2log 1a <，则正数a 的取值范围是 02a <<
【典型例题】
类型1、对数与指数的互换
例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）71
2128
-=
； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12
log 325=-； （5）lg 0.0013=-； （6）ln100=4.606.
例2、（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.
（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.
类型2、对数的四则运算
例3、若*
01,0,a a x y n N ≠∈＞，＞＞，则下列各式：
①(log )log n a a x n x =；②(log )log n n a a x x =；③1
log log a a x x =-；④log log log a a a x x y y
=； ⑤1log log n a a x x n =
；⑥log log n a a x
x n =；⑦log log n
n a a x x =；⑧log log a a x y x y x y x y
-+=-+-；
其中成立的有_____________；
log ln lg的互换公式答案：③⑥⑦⑧
例4、化简与求值： （1）log log a b b c
a
；
（2）2log (4747)+--； （3）2
22
lg 5lg8lg 5lg 20(lg 2)3
+
+?+ （4）lg 2lg 3lg 10lg1.8
+-；
答案（1）c ；（2）
12；（3）3；（4）12
【补充练习】计算（1）2log (642642)+--=
3
2
（2）33lg 2lg 53lg2lg5++= 1 例5、若[][]345435log log (log )log log (log )0a b ==，则
a
b
=__________； 答案：43
5;55a a b b
==?
= 例6、已知函数()f x 满足“当4x ≥时，1()2x