§5.4
平面向量的综合应用
题型一平面向量在几何中的应用
例1
(1)如图，在△ABC 中，cos ∠BAC ＝14，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，AD ＝15
2
，
则△ABC 的面积的最大值为________．
答案15
解析
设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为BD ＝3DC ，AD →＝14AB →＋34AC →
，
又AD ＝
152，cos ∠BAC ＝1
4
，所以AD →2
14AB ＋34
AC ＝116c 2＋916b 2＋38bc cos ∠BAC ＝
3d综合版116c 2＋916b 2＋3
32
bc ，又154＝116c 2＋916b 2＋332bc ＝14c 23
4b ＋332bc ≥2×14c ×34b ＋332bc ＝15
32bc ，当且仅当c ＝3b 时，等号成立．所以bc ≤8，又sin ∠BAC ＝
15
4
，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ≤12×8×15
4
＝15.
(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，D 是AC 的中点，CB →＝2BE →，试用a ，b 表示DE →
为________，若AB →⊥DE →
，则∠ACB 的最大值为________．答案32b －12
a π
6
解析
DE →＝CE →－CD →＝32b －12
a ，
AB →＝CB →－CA →
＝b －a ，
由AB →⊥DE →
得(3b －a )·(b －a )＝0，
即3b 2＋a 2＝4a ·b ，
所以cos ∠ACB ＝a ·b |a ||b |＝3b 2＋a 24|a ||b |≥23|a ||b |4|a ||b |＝3
2，
当且仅当|a |＝3|b |时取等号，而0<∠
ACB <π，所以∠ACB
，
π6.
思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题――→设向量
向量问题――→计算
解决向量问题――→还原
解决几何问题．
跟踪训练1(1)
在△ABC
BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|
＝12，则△ABC 为(
)
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．三边均不相等的三角形答案A
解析
AB →|AB →|，AC →|AC →|
分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，AB →|AB →|＋AC →|AC →
|
在∠A 的角平分线上，
BC →＝0，∴|AB →|＝|AC →
|，又AB →|AB →|·AC →|AC →|
＝12，∴cos 〈AB →，AC →
〉＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，
则AB →与AC →
的夹角为60°，即∠BAC ＝60°，
可得△ABC 是等边三角形．
(2)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →
，AD ＝37，则BC 的长为()
A ．37
B ．36
C ．33
D ．6
答案A
解析
因为CD →＝2DB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC
→＝AB →＋13(AC →－AB →)
＝23AB →＋13
AC →，
设AB ＝x ，则AD →2
＋13AC ，得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋1
9×92，
即2x 2＋9x －126＝0，
因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以|BC →|＝|AC →－AB →
|＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →
|cos 60°＝
62＋92－2×6×9×1
2
＝37.
题型二和向量有关的最值(范围)问题
命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2
如图，在△ABC 中，点P 满足2BP →＝PC →
，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交
于点M ，N ，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →
(x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为(
)
A ．3
B ．32
C ．1  D.
13
答案A
解析
由题意知，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋BC →3＝AB →＋AC →－AB →3
＝2AB →3＋AC →
3，又AM →＝xAB →，AN →
＝
yAC →
(x >0，y >0)，
∴AP →＝2AM →3x ＋AN →3y
，
由M ，P ，N 三点共线，得23x ＋1
3y ＝1，
∴2x ＋y ＝(2x ＋y ＝53＋2x 3y ＋2y 3x ≥5
3＋2
2x 3y ·2y
3x
＝3，当且仅当x ＝y 时等号成立．故2x ＋y 的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题
例3
已知在边长为2的正△ABC 中，M ，N 分别为边BC ，AC 上的动点，且CN ＝BM ，则AM →·MN
→
的最大值为________．答案－43
解析
建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，
则BC →＝(2,0)，CA →＝(－1，3)，设BM →＝tBC →
(0≤t ≤1)，则CN →＝tCA →
(0≤t ≤1)，则M (2t －1,0)，N (1－t ，3t )，
∴AM →＝(2t －1，－3)，MN →
＝(2－3t ，3t )，∴AM →·MN →
＝(2t －1)×(2－3t )＋(－3)×(3t )
＝－6t 2＋4t －2＝－－4
3，
当t ＝13时，AM →·MN →取得最大值－43.
命题点3与模有关的最值(范围)问题
例4
已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，且向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是(
)
A ．[2－1，2＋1]
B ．[2－1，2]
C ．[2，2＋1]
D ．[2－2，2＋2]
答案A
解析
a ，
b 是单位向量，a ·b ＝0，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，
c ＝(x ，y )，|c －a －b |＝|(x －1，y －
1)|＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，∴2－1≤|c |≤2＋1.
思维升华向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2
(1)已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD ＝2π
3
，E 为线段BC 的中点．若
F 为线段DE 上的一点，且AF →＝λAB →＋56AD →，则|AF →
|的最小值为(
)
A.11B ．3  C.7
D.5
答案D
解析
设|AB →|＝x ，|AD →
|＝y ，
则S ＝x ·y ·sin 2π3＝3
2xy ＝93，∴xy ＝18.
∵AF →＝λAB →＋56AD →＝λ(AE →＋EB →)＋56AD →＝λAE →
，
∵E ，F ，D 三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝1
3，
∴AF →＝13AB →＋56
AD →
，
∴|AF →|2＝19|AB →|2＋59AB →·AD →＋2536|AD →
|2
＝19x 2＋59xy ＋25
36y 2≥－5＋219·2536
·
x 2·y 2
＝5，当且仅当x ＝5
2y 时，等号成立．
∴|AF →
|的最小值为5.
(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →
－AC →|＝1，则|AP →
|的最小值为()
A.3－1B ．22－1
C ．23－1
D.7－1答案C
解析
因为|AB →＋AC →|2＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC
→＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π
3
＝12，