专题08二次函数及幂函数--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型
一、关键能力
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
二、教学建议
幂函数的教学中，只要求了解幂函数的概念，并结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3， 的图象，了解它们的单调性和奇偶性。
二次函数的教学中，方程实根分布问题，重点在于培养学生使用图象来解决方程根的问题的思想方法，这里的借助图象来控制根的分布的思想，是相对于初中用判别式和求根公式等代数办法而言，重点在于对借助图象能力的培养，而不在于背诵记忆若干根的分布的几大类型公式等。
三、自主梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
[提醒]
二次函数的图像、单调性、最值与以下四点有关
（1）抛物线的开口方向（2）对称轴（3）给定区间的范围有关（4）判别式
四、真题感悟
1.（2021浙江卷） 已知，函数若，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
幂函数定义【详解】，故，
故答案为：2.
2.（2021全国甲卷理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）
A.     B.     C.     D.
【答案】D
【解析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．所以．
故选：D．
3.（2021全国甲卷文）设函数，其中.讨论的单调性；
【答案】的减区间为，增区间为；
【详解】函数定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
4.（2021浙江卷） 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ）
A. 直线和圆    B. 直线和椭圆    C. 直线和双曲线    D. 直线和抛物线
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
5．（2020江苏7）已知是奇函数，当时，，则的值是      ．
【答案】
【解析】是奇函数，当时，，则．
6．（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，则    （  ）
A．    B．    C．    D．
【答案】C
【思路导引】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．
【解析】当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时，由二次函数的图象可知，只有时，满足，不满条件；
当时，在上，恒成立，∴只需满足恒成立，此时当两根分别为和，