2023-2024学年山西省太原市高二下册3月月考数学试题
一、单选题
1．若2
C 36n =，则n 的值为（
）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【正确答案】C
【分析】直接解组合数方程，即可求解.
【详解】因为2
C 36n =，所以
()
13621
n n ⨯-=⨯，解得：n =9.
故选：C
2．已知随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，若()5
4
E X =
，()1516=D X ，则p =（
）
A ．
14
B ．
13
C ．
3
4
D ．
45
【正确答案】A
【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程组求解．
【详解】由题意54
15(1)16np np p ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得145p n ⎧=⎪⎨
⎪=⎩．故选：A ．
3．上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而数学老师因故不能上第二节和第四节，则不同排课方案的种数是（）
A ．24
B ．22
C ．20
D ．12
【正确答案】D
【分析】按照特殊元素优先的原则先排数学课再对其余三门功课全排列即可.【详解】因为数学教师因故不能上第二节和第四节课，
所以先排数学老师的课，共有1
2C 2=种排课方案，
然后再排剩下三位老师的课，共有3
3A 6=种排课方案，
由分步计数乘法原理可得共有2612⨯=种排课方案，故选.D
4．在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品，其中含有的次品数为X 则()E X =（）
A ．
23
B ．1
C ．
43
D ．2
【正确答案】D
【分析】由题知，X 可取1，2，3，求得X 的分布列，进而可求()E X 【详解】由题知，X 可取1，2，3，
则()12
4236C C 11C 5P X ⋅===，()214236C C 32C 5P X ⋅===，()34
3
6
C 13C 5P X ===，()131
1232555
E X ∴=⨯+⨯⨯.
故选：D
5．有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（）
A ．
4
7
B ．
23
C ．
13
D ．
16
【正确答案】B
【分析】利用条件概率公式，结合古典概型计算即可.【详解】法一：
设第一次取得次品为事件A ，第二次取得正品为事件B ，
则()()111343
111
767C C C 23,C C 7C 7
P AB P A ====，所以()()
()272
733
P AB P B
A P A ==⨯=∣.法二：
在第一次拿出一件次品后还有6件，其中4件正品，2件次品，故第二次拿出正品的概率为4263
P ==.故选：B.
6．在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是（
）
A ．69
B ．70
C ．74
D ．84
【正确答案】A
先计算能构成三角形的个数的总数，再减去不符合条件的可得答案,
【详解】三角形边上的9个点中任取3个，共有3
9987
84321
C ⨯⨯=
=⨯⨯个，当三点在一条线上时
构不成三角形，有33533
415C C C ++=个，所以符合条件的个数84-15=69，
故选：A.
方法点睛：本题主要考查组合的应用，常见组合数的求法有直接法和间接法.7．设()5
501521x a a x a x -=+++ ，则下列说法正确的是（
）
A ．01
a =B ．123451a a a a a ++++=C ．024121a a a ++=-D ．135121
a a a ++=【正确答案】C
【分析】设()()5
501521f x x a a x a x =-=+++ ，利用赋值法可判断各选项的正误.【详解】设()()5
501521f x x a a x a x =-=+++ ，对于A 选项，()()5
3 d0011a f ==-=-，A 错；对于B 选项，
()()()()5
123450123450112112a a a a a a a a a a a a f ++++=+++++-=--=-+=，
B 错；
对于CD 选项，()()()
012345501234511
13f a a a a a a f a a a a a a ⎧=+++++=⎪⎨-=-+-+-=-⎪⎩，
所以，()()
024111243
12122
f f a a a +--++==
-，()()
135111243
1222
2
f f a a a --+++=
=，C 对D 错.故选：C.
8．四种不同的颜涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同，满足条件的涂法数有（
）种
A ．24
B ．72
C ．120
D ．144
【正确答案】C
【分析】由第一类区域6与区域4相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域3有2种方法，涂区域2有1种方法，第二类区域6与区域4不相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域6有1种方法，再分类，若区域6与区域3相同，涂区域2有2种方法；若区域6与区域3不相同，涂区域3，2有1种方法，分别利用分步计数原理求解.
【详解】解：第一类：若区域6与区域4相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域3有2种方法，涂区域2有1种方法，则不同的涂方案有4322148⨯⨯⨯⨯=种；
第二类：若区域6与区域4不相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域6有1种方法，
再分类，若区域6与区域3相同，涂区域2有2种方法；若区域6与区域3不相同，涂区域3，2有1种方法；
则不同的涂方案有()43212172⨯⨯⨯⨯+=种；根据分类计数原理，不同的涂方案有4872120+=种.故选：C.
二、多选题
9．若随机变量X 服从两点分布，其中()1
03
P X ==，()E X ，()D X 分别为随机变量X 的
均值与方差，则下列结论正确的是（）
A ．()()
1P X E X ==B ．()324
E X +=
C ．()324
D X +=D ．()49
D X =
【正确答案】AB
【分析】根据随机变量X 服从两点分布推出2
(1)3
P X ==，根据公式先计算出()E X 、()D X ，由此分别计算四个选项得出结果．
【详解】随机变量X 服从两点分布，其中1
(0)3P X ==，2(1)3
P X ∴==，
122
()01333
E X =⨯+⨯=，
2221222
()(0)(1)33339
D X =-⨯+-⨯=，
在A 中，(1)()P X E X ==，故A 正确；
在B 中，2(32)3()23243
E X E X +=+=⨯+=，故B 正确；在C 中，2
(32)9()929
D X D X +==⨯=，故C 错误；在D 中，2
()9
D X =，故D 错误．故选：AB ．
10．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则下列结论中正确的是（）
A ．取出的白球个数X 服从二项分布
B ．取出的黑球个数Y 服从超几何分布
C ．取出2个白球的概率为
114
D ．取出球总得分最大的概率为114
【正确答案】BD
【分析】A 、B 根据题设描述写出取出的白球个数X 、黑球个数Y 的可能情况，并求出对应情况的概率，易得它们都服从超几何分布；进而可判断C 、D 的正误.
【详解】A ：取出白球个数X 可能为0、1、2、3、4，则4064410C C 1
(0)C 14
P X ===，
3164410C C 8(1)C 21P X ===，2264410C C 3(2)C 7P X ===，1364410C C 4(3)C 35P X ===，04
64
410C C 1(4)C 210
P X ===，