高中数学知识点与公式大全（按照教学顺序）
必修一
第一章集合与函数概念
1.集合
1.1集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：
①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号名称自然数集正整数集
整数集有理数集实数集表示符号
N
*N 或+
N Z
Q
R
1.2集合间的基本关系
性质
符号表示
空集
空集是任何集合的子集A
⊆∅空集是任何非空集合的真子集
）
（∅≠⊄∅A A 相等集合A 与集合B 所有元素相同
A=B
子集集合A 中的任何一个元素均是集合B 中的元素B
A ⊆真子集
集合A 中的任何一个元素均是集合B 中的元素，且B 中至少有一个元素在A 中没有
1.3集合之间的基本运算
符号表示
集合表示
并集B A ⋃}
{B A x x ∈∈x |或交集B A ⋂}{B x A x x ∈∈且|补集
A
C U }
{A U x x ∉∈x |且
【重要提醒】
1．若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B (
)()U
U A B A B U ⇔=∅⇔=
.
3．奇数集：{}{}{}
21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=(
)()U
U
U A B A B ；
②交集的补集等于补集的并集，即
()=(
)()U
U
U A B A B ．
2.函数及其表示
2.1函数与映射的相关概念
函数幂函数定义
映射
两个集合A 、B
设A 、B 是两个非空数集
设A 、B 是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系f ，使对于集
合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应
名称
称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一
个函数
称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射
记法
y ＝f (x )，x ∈A
f ：A →B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域
在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2.2函数的三要素（1）．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}.（2）．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.（3）．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y ＝kx ＋b (k 为常数且k ≠0)的值域为R .(2)反比例函数k
y x
=
(k 为常数且k ≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)，
当a >0时，二次函数的值域为2
4[,)4ac b a -+∞；当a <0时，二次函数的值域为
2
4(,]4ac b a
--∞.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：2
2
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++
.2.3分段函数分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
3.函数基本性质
3.1函数的单调性单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2
当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数
当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
单调区间的定义
如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．函数的最值前提
设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足
条件
（1）对于任意的x I ∈，都()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M
=（3）对于任意的x I ∈，都()f x M ≥；
（4）存在0x I ∈，使得()0f x M =结论
M 为最大值M 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.函数单调性的常用结论
（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数；
（2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 单调性相反；
（3）函数()()()
0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1
()
y f x =
的单调性相反；
（4）函数()()(
)
0y f x f x =≥在公共定义域内与y =的单调性相同；
（5）一些重要函数的单调性：①1
y x x
=+
的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减；
②b
y ax x =+
（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增，在
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减．3.2函数的奇偶性
（1）．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性定义
图象特点
偶函数
如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有
()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数
图象关于y 轴对称
奇函数
如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有
()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数
图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．（2）．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：
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