短时傅里叶变换及其谱图分析
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〔作业小论文〕
工程测试技术课程设计
短时傅里叶变换及其谱图分
短时傅里叶变换matlab程序 姓名：xxxx 学号：2wwwww 班级：wwww 专业：工程机械
2022.03.20
短时傅里叶变换及其谱图分析
摘要：本文讨论了有噪信号的短时傅里叶变换STFT及其谱围．分析和仿真结果说明，受
白噪声污染的信号的STFT可以无偏估计原信号的STFT，而其谱图可以对愿信号的谱图作有偏
估计，估计方差是有限的，且是时间和频率的函数．在短窗的情况下，求得了该方差上限的 近似表示．
关键词：短时傅里叶变换 谱图 噪声污染信号 估计
1.前言
信号的短时傅里叶变换STFT是最早提出的一种时。频二维表示方法，它采用加窗的复正
弦作为基函数，也称为加窗傅里叶变换。由于它采用单一的分析窗处理所有频率分量，在时-
频平面内所有点上的分辨率是相同的，因而适合于准平稳信号的处理。STFT简单易实现，许
多联合时．频分析的应用都是由它开始的。尽管STFT按定义属于线性变换，但在各种实际应
用中常采用它的能谱分布表示方法，这就是基于短时傅里叶变换的谱图Spectrogram)表示。
谱图定义为STFT的模平方，它是二次型时．频分布，尽管不满足时一频边缘条件，但可以认为
是信号能量在时．频平面上的分布。谱图已经在信号检测，语音处理等方面得到了广泛应用 [1Ⅱ2】。
谱图具有非线性性质，对于多分量信号将产生类似于Wigner分布中的交叉项干扰，从而
引入了模糊，影响信号分析结果。在利用谱图对信号的谱估计中，加性噪声的影响使信号具有
了多分量特性．可能使得估计产生较大偏差。本文就确定性信号受自噪声污染后的STFT及其
谱图的最小方差估计问题进行了分析。文中第二局部做了理论推导，求得了有噪信号的sTFT
及其谱图的均值和方差，第三局部对短窗的情况作了近似分析，最后给出了一例简单的仿
真结 果。
2.傅立叶变换的提出
让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯
(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
3.理论分析
设确定性信号5(f)被零均值实平稳噪声n(t)污染，表示为 x(t)=sO)+胛O)
按照定义，信号x(，)的短时傅里叶变换sTFT为 STFT，(t，co)=￡x(f)w(f—r)exp(一joJf)如
其中w(f)为分析窗函数。那么由(1>一2)式得其均值为
E[STFTAt，国】-STUI',(t，co)即宵嗓信号的STFT足原信号STFT的无偏估计，这是所希望具有的性质。
按}!c{定义，信号z(，)的谱幽表示为 犯(7，oJ)=ISTFLq，∞)J 2 f4)
山(1)叫2)式斤揪{}f的均值为
EB只(，，埘)】=￡B只(，，彩)】+E【咒(，，∞)】
、与喙声是rf的情况卜，R一(f，一r。)=￡【门(f，)胛(r，)】=仃。2占(r。一r，)，其中O'n2为噪卢功 率谱密度。由此可以推导山 E陋(，，∞)】=犯f，，瑚)+O\￡w，2(H)dr T(，)的仃。。2：E【s只2(f，∞)】一E2墨只o，国)】
=￡￡￡￡【R。(f。一f，)R。(r：一f。)+R。(r．一r。)R。(f：一f，)] (12) Rw‘“、(fl，f2，f3，f4)dflr2f3f4
以上两局部都是有限值，从而保证了x“)谱图的方差是有限的。因此，受臼噪声污染的信号
的谱图可以对原信号的谱图做有偏估计，估计方差是有限的，并且是时间和频率的函数。估计 偏差为
b=吒2￡w2(f—f)如(13)
即偏差与原信号无关，对于白噪声，它可以很容易地被移去，这也说明了谱图具有在白噪声中 检测信号的能力。
4.用Matlab实快速傅立叶变换
FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，F现FT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。
现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此啰嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点〔除了第一个点直流分量之外〕的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量〔即0Hz〕，而最后一个点N的再下一个点〔实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后〕那么表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，
每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，那么可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，那么结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，那么结果可以分析到
0.5Hz。如果要提高频率分辨力，那么必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点〔n≠1，且n
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