09级数模试题
1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分）
解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：
（1）地面为连续曲面
（2）长方形桌的四条腿长度相同
（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的
（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab与x轴的夹角记为。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 为A、B离地距离之和，为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设（1），,均为的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故=0必成立（）。不妨设,05网全部答案g（若也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：
已知,均为的连续函数，,且对任意有，求证存在某一，使。
证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故，。作，显然，也是的连续函数，而，由连续函数的取零值定理，存在，，使得，即。又由于，故必有，证毕。
2.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分）
解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A宿舍的委员数为x人，B宿舍的委员数为y人，C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。
则
x+y+z=10；
x/10=235/1000；
y/10=333/1000；
z/10=432/1000；
，x,y,z为正整数；
解得：x=3
y=3
z=4
3.一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每 天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。（15分）
解：设在第t天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为z元。
每头猪投入：5t元
产出：（8-0.1t）（80+2t）元
利润：Z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t^2 + 13t +640
=-0.2（t^2-65t+4225/4）+3405/4
当t=32或t=33时，Zmax=851.25(元)
因此，应该在第32天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。
4. 一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。（2）33元可买到
1桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? (5)A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？（15分）
解：设：每天生产将x桶牛奶加工成A1，y桶牛奶加工成A2，所获得的收益为Z元。
加工每桶牛奶的信息表:
产品 | A1 | A2 |
所需时间 | 12小时 | 8小时 |
产量 | 3公斤 | 4公斤 |
获利/公斤 | 24元 | 16元 |
(1)x+y<=50
Z=24*3x + 16*4y=72x+64y
解得， 当 x=20，y=30时， Zmax=3360元
则此时，生产生产计划为20桶牛奶生产A1，30桶牛奶生产A2。
（2）设：纯利润为W元。
W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>0
则，牛奶33元/桶 可以买。
(3)若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：
W=39x+31y
解得，当x=0，y=60时 ， Wmax=1860元
则最多购买60桶牛奶。
(4) 若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为n元。
n=Wmax/480=3.875（元）
(5)若A1的获利为30元，则其优化条件不变。
Z1=90x+64y
解得， 当x=0，y=60时，Z1max=3840（元）
因此，不必改变生产计划。
5. 在冷却过程中，物体的温度在任何时刻变化的速率大致正比于它的温度与周围介质温度之差，这一结论称为牛顿冷却定律，该定律同样用于加热过程。一个煮硬了的鸡蛋有98℃，将它放在18℃的水池里，5分钟后，鸡蛋的温度为38℃，假定没有感到水变热，问鸡蛋达到20℃，还需多长时间?（15分）
解：题意没有感到水变热，即池水中水温不变。
设:鸡蛋的温度为T，温度变化率就是 dT/dt 其中t为时间，水的温度为T1，则鸡蛋与水温差为 T-T1
由题意有：
T- T1=kdT/dt (其中k为比例常数) (1)
方程(1)化为 ： dt=kdT/（T- T1） （2）
对（2）两边同时积分之后并整理一下就得到：
t=k*ln（T- T1）+C
则 k*ln（98-18）+ C=0
5=k*ln（38-18）+c
t1=k*ln(20-18)+c-[k*ln(38-18)+c]=8.3（min）
所以，还需8.3（min）。
6. 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。（15分）
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