第二章（一维）算符理论
本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。
1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上
①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n维向量上会获得一个新的n维向量，这等价于一个n阶方阵「作用」在n行1列矩阵上得到新的n行1列矩阵，用数学语言可表示为。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。
②微分算子：在微积分中也可简写成。前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算
③本征值和本征矢：在矩阵方程中，把称为矩阵本征值，称为矩阵的本征矢
④本征值和本征函数：在微分方程中，把称为问题本征值，称为本征函数
⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。
考虑一个可测量，定义它的对应算符为，它的本征方程是或，把称为算符的「本征值」，的取值集合称为算符的「谱」，
称为算符的「本征态」（或本征矢），称为算符的「本征函数」
（注意：有时也把记作本征值的对应本征态，如后面将遇到的坐标算符本征态、动量算符本征态）
⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量，这过程可以抽象为对应的算符作用于系统粒子的态矢量，测量值只能为算符的本征值。在这次测量后，假设得到测量值，则意味着系统状态此时已坍缩到对应于本征值的的本征态
（观测的影响：测量任何力学量都必须使用仪器。在观测的过程中，探测仪器不可避免地要与被测粒子发生相互作用：例如，要观测粒子的自旋，必须外加磁场）
2.厄米矩阵：根据实际要求观测量应为实数，即算子对应的矩阵的本征值为实数，我们到这样的矩阵，在数学上称为厄米矩阵（自共轭矩阵）
①厄米矩阵定义：方阵任一元素满足，称方阵为厄米矩阵，记作
由这个定义，今后就把转置共轭称作厄米共轭
②厄米矩阵性质：（1）本征值是实数（2）不同本征值对应的本征矢正交
（3）本征矢量构成一组完备基（经施密特规范正交化就得到标准正交完备基）
③第二公设——可观测量公设（算符公设）：每个可观测量都有其对应的厄米算符，算符的所有本征矢组成一个完备基
3.线性厄米算符的运算法则：
①基本运算：（1）（2）单位算符
（3）（4）
（5）（6）（一般地）
②算符作用在态矢（在坐标表象下）：
（1）回顾投影式：，，，
（2）算符作用在右矢/左矢的矩阵表示（这要求本征值必须是离散的！）：
由此可得
此结论可简单表述为：同一算符作用在右矢与作用在左矢得到的结果构成厄米共轭
（3）算符的矩阵形式：由上可知
（4）厄米算符判别条件：
算符对函数作用时，条件改为：
4.位置算符：是一个极其特殊的厄米算符，它的本征函数系平方不可积但是完备
①本征方程：
②本征值：本征值的集合就是实数集，这种本征值取值连续的情况称为连续谱
相应地，本征值取值离散的情况称为离散谱
③本征函数：除了点之外取值都是0，考虑归一化要求有
，
④本征函数规格化：虽然无法归一化，但可考虑用函数代替克罗内克符号
于是有规格化处理，，简写作
5.动量算符：和相同，它的本征函数系平方不可积但是完备
①从到：推导过程留在本章结尾
②本征方程：
③本征值：本征值的集合是实数集，本征值可直接记作
④本征函数：，，
（*函数的傅里叶变换公式：）
⑤本征函数规格化：，，简写作
6.对易子：一般地，不妨定义运算，称为对易子
①对易子的性质：（1）（2）
（3），
（4）雅可比恒等式：
②位置-动量对易关系（最基本）：，进一步地
③哈密顿量-力学量算符对易关系：，
特别地，如果不显含时且，那么力学量是守恒量
7.不确定性原理：，其中（方差定义）
（1）解说：当，称两算符可对易，此时存在令
即在该状态下的观测值可以同时确定
当，称两算符不可对易，若，则
即的观测值确定时，无论如何都无法确定的观测值（反之亦然）
（2）算符相容性：称两算符相容，此时它们有共同的本征态和本征函数
（3）位置-动量不确定性关系：或写作
能量-时间不确定性关系：，其中表示变化所用时间
（4）本征值还是平均值？：当，易知即
显然这是算符的本征方程，是本征态，是平均值又是本征值，这是怎么一回事？粒子状态对测量结果有什么影响？答案见第三章
8.附录1：不确定性原理的推导
方差，故傅里叶变换公式原理，
根据柯西-施瓦茨不等式有，对任意复数有
不妨设，考察
同理有，代入得
（此过程来源于《量子力学导论》3.4节，格里夫斯著）
附录2：从到的推导过程（波动力学观点）
已知一维薛定谔方程一般形式为
整理为①，方程两边取共轭得②
考察
则有：
将此式和比较，可定义，即为动量算符
（此过程来源于《量子力学导论》1.5节，格里夫斯著）