信号时域频域和转换.docx
信号分析⽅法概述：
通⽤的基础理论是信号分析的两种⽅法：1是将信号描述成时间的函数2是将信号描
述成频率的函数。也有⽤时域和频率联合起来表⽰信号的⽅法。时域、频域两种分析⽅法提
供了不同的⾓度，它们提供的信息都是⼀样，只是在不同的时候分析起来哪个⽅便就⽤哪个。思考：原则上时域中只有⼀个信号波（时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数，时域中只有周期的概念），⽽对应频域（纯数学概念）则有多个频率分量。
⼈们很容易认识到⾃⼰⽣活在时域与空间域之中（加起来构成了三维空间），所以⽐较好理解时域的波形（其参数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位）、空间域的多径
信号也⽐较好理解。
但数学告诉我们，⾃⼰⽣活在N维空间之中，频域就是其中⼀维。时域的信号在频域
中会被对应到多个频率中，频域的每个信号有⾃⼰的频率、幅值、相位、周期（它们取值不同，可以表⽰不同的符号，所以频域中每个信号的频率范围就构成了⼀个传输信道。
时域中波形变换速度越快（上升时间越短），对应频域的频率点越丰富。
所以：OFDM中, IFFT把频域转时域的原因是：IFFT的输⼊是多个频率抽样点（即各⼦信道的符号），⽽IFFT之后只有⼀个波形，其中即OFDM符号，只有⼀个周期。
时域
时域是真实世界，是惟⼀实际存在的域。因为我们的经历都是在时域中发展和验证的，已经习惯于事件按时间的先后顺序地发⽣。⽽评估数字产品的性能时，通常在时域中进⾏分析，因为产品的性能最终就是在时域中测量的。
时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间。
时钟周期就是时钟循环重复⼀次的时间间隔，通产⽤ns度量。时钟频率FCIoCk，
即1秒钟内时钟循环的次数，是时钟周期Tclock的倒数。
FcIock=1⁄TcIo ck
上升时间与信号从低电平跳变到⾼电平所经历的时间有关，通常有两种定义。⼀种是10-90上升时间，指信号从终值的10%跳变到90%所经历的时间。这通常是⼀种默认的表达
⽅式，可以从波形的时域图上直接读出。第⼆种定义⽅式是20-80上升时间，这是指从终值
的20%跳变到80%所经历的时间。
时域波形的下降时间也有⼀个相应的值。根据逻辑系列可知，下降时间通常要⽐上升时
间短⼀些，这是由典型CMo输出驱动器的设计造成的。在典型的输出驱动器中，P管和n
管在电源轨道VCC和VSS间是串联的，输出连在这个两个管⼦的中间。在任⼀时间，只有⼀
个晶体管导通，⾄于是哪⼀个管⼦导通取决于输出的⾼或低状态。
假设周期矩形脉冲信号f（t）的脉冲宽度为T，脉冲幅度为E，重复周期为T，
频域
频域最重要的性质是：它不是真实的，⽽是⼀个数学构造。时域是惟⼀客观存在的域，⽽频域是⼀个遵循特定规则的数学范畴。
正弦波是频域中唯⼀存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描
述，因为时域中的任何波形都可⽤正弦波合成。这是正弦波的⼀个⾮常重要的性质。然⽽，
它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。正弦波有四个性质使它
可以有效地描述其他任⼀波形：
（1）时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟⼀地描述。
（2）任何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互分离开。
（3）正弦波有精确的数学定义。
（4）正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。
使⽤正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地⽅。若使⽤正弦波，则与互连线的电⽓
效应相关的⼀些问题将变得更容易理解和解决。如果变换到频域并使⽤正弦波描述，有时会
⽐仅仅在时域中能更快地得到答案。
⽽在实际中，⾸先建⽴包含电阻，电感和电容的电路，并输⼊任意波形。⼀般情况下，就会得到⼀个类似正弦波的波形。⽽且，⽤⼏个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形，
如下图2.2
所⽰：
图2.2理想RLC电路相互作⽤的时域⾏为频域的图如下?\
时域与频域的互相转换
时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察⾯。时域分析是以时间轴为坐标表⽰动态
信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表⽰出来。⼀般来说，时域的表⽰较为
形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和⽅便。
时域与频域的对应关系是：时域⾥⼀条正弦波曲线的简谐信号，在频域中对应⼀条谱
线，即正弦信号的频率是单⼀的，其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的⼀个尖峰信号。
按照傅⾥叶变换理论：任何时域信号，都可以表⽰为不同频率的正弦波信号的叠加。
1 、正弦波时域信号是单⼀频率信号；
2 、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单⼀频率信号；
3 、任何波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到；
解释1：
初学者⼀个经常的困惑是：⽆法理解信号为何会有多个频率，加上许多书中的描述
不够严谨，⽐如：语⾳信号的频率是在4k以下，是3~4千赫正弦波。
正确的解释是：⼀个信号有两种表⽰⽅法，时域和频域。在时域，信号只有周期，正是因为有了傅⽴叶变换，⼈们才能理解到信号频域的概念。（先有傅⽴叶变换的结果才
让你认识到声⾳信号⾥包含了某种频域的正弦波，它仅仅是声⾳信号⾥的⼀个分量?⽤你的
眼睛你可能永远看不出这些幅度变动⾥包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波！）注：⼤家应牢记：频域最重要的性质是：它不是真实的，⽽是⼀个数学构造。频域实际上是时域信号进⾏傅⽴叶变换的数学结果。通过数学⽅法，可以更⽅便的观察到信号内含的
信息、可以分解合成信号。
周期信号的傅里叶变换公式
⽆线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等。
时间⽐较好理解，就是：时间周期1发送符号1，时间周期2发送符号2.。，时域
的波形可以⽤三⾓函数多项式表⽰，函数参数有：时间、幅度、相位。在载波传输中，载波信号由振荡器产⽣，它的时钟频率是固定的，倒数就是时间周期。
频域⽐较难理解，按傅⽴叶分析理论，任何时域信号都对应了频域的若⼲频率分量（称为谐波）的叠加，频域的频率与时域的时钟频率不同。可以认为：时域不存在频率，只存在时间周期。信号处理与通信中所指的频率⼀般都是指频域的频率分量。⽽每个频率分量都
可从数学意义上对应时域的⼀个波形（称为谐波，基波是⼀种特殊的谐波，它的频率与时域
波形的时钟频率相同）。
因为载波⼀般都是正弦波，所以定义信号在1秒内完成⼀个完整正弦波的次数就是信号的频率（以HZ为单位），即1Hz。时间周期T=1⁄f。
载波的功能参见调制解调部分内容。这⾥可以先不理解何为载波，关键是时域与
频域的对应关系。
以这个时域波形为例
设时域波形（图中的合成波）的时间周期=T （如2秒），其时钟频率则为f0=1⁄2 Hz。那么基波的频率、周期与合成波⼀样。每个谐波之间频率间隔=基波频率。
⽽谐波1的频率f1=1⁄2+1⁄2=1Hz ，周期T1=1o
谐波2 的频率f2=1+1⁄2=3⁄2 HZ ，周期T2=2⁄3。。。。
谐波8 的频率f8=1⁄2+(1⁄2)*8=4.5Hz ，周期T8=0.2222
在频域中，每个频率分量都有⾃⼰的幅度与相位。按谐波的频率、幅度、相位信
息可以得到谐波所对应时域的波形。
将各谐波的时域波形叠加起来，即得到时域中合成波。
解释2：时域信号的数据传输速率，常⽤bps ，如100KbPS，指Is内传输了100K bits的
⼆进制数据。即：时域的传输效率。
引⼊频域后，带来⼀个新的数据：频谱效率，作为频域的传输效率。如
80bps⁄Hz指1Hz频率上能传输80bps数据。
按信息论，带宽越⼤，数据速率越⾼。
解释3：
为什么我们要⽤正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以⽤⽅波或三⾓波来代替呀，分解信号的⽅法是⽆穷的，但分解信号的⽬的是为了更加简单地处理原来的信号。
⽤正余弦来表⽰原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。⼀个正弦曲线信号输⼊后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发⽣变化，但是频率和波的形状仍是⼀样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不⽤⽅波
或三⾓波来表⽰。
注：此处仍要牢记：频域是数学构造，只要有助于我们分析信号，对应的数学⽅法
就是有⽤的。
傅⽴叶变换原理
傅⽴叶变换分类
根据原信号的不同类型，我们可以把傅⽴叶变换分为四种类别：
周期性连续信号傅⽴叶级数(FoUrier SerieS)
⾮周期性连续信号傅⽴叶变换(FOUrier Transform )
⾮周期性离散信号离散时域傅⽴叶变换(DiSCrete Time FOUrier TranSform)
周期性离散信号离散傅⽴叶变换(DiSCrete FOUrier TranSfOrm) -DFT
下图是四种原信号图例：
是⽆穷⼤的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅⽴叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负⽆穷⼩到正⽆穷⼤，我们⽆法把⼀个长度⽆限的信号组合成长度有限的信号。
⾯对这种困难，⽅法是把长度有限的信号表⽰成长度⽆限的信号，
可以把信号
⽆限地从左右进⾏延伸，延伸的部分⽤零来表⽰，这样，这个信号就可以被看成是⾮周期性离解信号，我们就可以⽤到离散时域傅⽴叶变换的⽅法。
还有，也可以把信号⽤复制的⽅法进⾏延伸，
这样信号就变成了周期性离解信
号，这时我们就可以⽤离散傅⽴叶变换⽅法进⾏变换。这⾥我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终⽬的是运⽤计算机
来处理信号的。
但是对于⾮周期性的信号，我们需要⽤⽆穷多不同频率的正弦曲线来表⽰，这对于计算机来说是不可能
实现的。所以对于离散信号的变换只有
离散傅⽴叶变换(DFT 才能被
适⽤，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能⽤到，在计算机⾯前我们只能⽤
DFT ⽅法，后⾯我们要理解的也正是 DFT
⽅法。这⾥要理解的是我们使⽤周期性的信号⽬的是为了能够⽤数学⽅法来解决问题，⾄于
考虑周期性信号是从哪⾥得到或怎样得到是⽆意义的。
每种傅⽴叶变换都分成实数和复数两种⽅法，
对于实数⽅法是最好理解的，但是复
数⽅法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，
不过，如果理解了实数离散傅⽴
叶变换(real DFT)，再去理解复数傅⽴叶就更容易了，所以我们先把复数的傅⽴叶放到⼀边去，先来理解实数傅⽴叶变换，在后⾯我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实
数傅⽴叶变换的基础上再来理解复数傅⽴叶变换。
还有，这⾥我们所要说的变换
(tra nsform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变
换是不同的，函数变换是符合⼀⼀映射准则的，对于离散数字信号处理(
DSP ，有许多的
变换：傅⽴叶变换、拉普拉斯变换、 Z 变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展
了函数变换的定义，允许输⼊和输出有多种的值，简单地说变换就是把⼀堆的数据变成另⼀堆的数据的⽅
法。
傅⽴叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表⽰为不同频率的
正弦波信号的⽆限叠加。⽽根据该原理创⽴的傅⽴叶变换算法利⽤直接测量到的原始信号，以累加⽅式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
的信号，即信号的的长度
和傅⽴叶变换算法对应的是反傅⽴叶变换算法。该反变换从本质上说也是⼀种累加
处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成⼀个信号。因此，可以说，傅⽴叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱)，可以利⽤⼀些⼯具
对这些频域信号进⾏处理、加⼯。最后还可以利⽤傅⽴叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
傅⽴叶级数的五个公式(周期性函数)
傅⽴叶(19世纪的法国⼈)认为：任何周期函数f(t)总是可以变成下⾯的傅⽴
叶级数
Tl
f(t)~才⼀+ 〒K I
(傅⽴叶公式1)
它等价于下⾯的公式
t A BCOstwΛ't + 再*否hιe*X,
(傅⽴叶公式2)
两个公式的关系是:
公式中aθ,an、bn都是常数。A
弦波(即谐波)表⽰。an,bn也称为傅⽴叶系数。
时域的信号⽤f(t)表⽰，下⾯介绍这个信号如何转换到频域的表⽰⽅法因为三⾓函数间有正交关系，如下1，两个不同三⾓函数的乘积在[-pi,+pi] 上的定积分为0。即正交。
1 ?cosj)d√r = O n —] t21
1 ?siπ(rtτ)djr = O 球=1 ■ 2*…
J -≡≡?ff
€0S(WX) ?CoS (fljr)dj: = O m ≠ n J -Ir
B?
Sirl(拠K)?Sin(nj,)dj? =O m ≠ n J —?
sin(m.τ} ?cos(nr)dιt H O 殂』= 1 ≠2t*t' J -W
2，两个相同函数的乘积在[-pi,+pi] 上的定积分为2Pi或pi.
f I i dJC= 2 凭
J-IT
「Stn2 (rtJ-)djr = π n —1,2, ***
J —輻
J CoS Z>djπ Tr n = 1 ? 2 + ??'L
解释：上图中的X对应傅⽴叶公式中的时间参数t。Pi可对应时间周期T O