初中数学实数部分复习及例题讲解
  实数的复习
  学习目标：
  1. 了解数集概念及实数在代数部分所体现的基础性与重要性，会用数轴。
  2. 巩固实数概念，平方根的广泛应用，正确使用科学记数法、近似数及有效数字。
  3. 实数范围内，掌握多则运算，因式分解受数集大小的影响。
  二. 重点、难点
  1. 实数及其分类
  ①
   ②
  ③小数(即实数)
   ④无理数不可化成分数。无理数有两种形式，一种类似于
的形式，另一种开不尽的数。
   2. 数轴：是初中阶段数形结合的基础。
  ①三要素：原点、正方向、单位长度
  ②实数与数轴上的点一一对应
  ③距离公式
  3. 相反数
  ①a的相反数是-a，0的相反数是0，成对出现;
  ②
a，b互为相反数
  ③数轴上看，分居在原点两边，到原点距离相等
  4. 倒数
  ①非零数四舍五入函数保留整数a的倒数是
，0没有倒数，也成对出现，
的倒数是它本身;
 
  ②
a，b互为倒数;
 
  ③数轴上看“三点四段”
 
 
  ④实数范围内认识倒数
  5和
，
和
，
和
，
和
，
和
 
 
和
 
  ⑤负倒数
  5. 绝对值
非负数
 
  ①
 
  ②数轴上看，a的绝对值就是数a所表示点到原点的距离。
  ③性质：
  <1>
 
  <2>
 
  <3>
且
 
  <4>
，特别地
 
  <5>
 
  6. 实数比大小
  ①利用数轴;
  ②利用绝对值比负数大小;
  ③利用差
 
  ④利用商比两正数大小
  a>0 b>0
 
 
  ⑤利用平方比两正数大小
  a>0 b>0
 
 
  ⑥利用被开方数
 
 
  ⑦利用幂的性质比幂的大小或数的大小
 
 
  7. 平方根
  ①
叫a的平方根，记作
;
 
  ②正数有两个平方根
算术平方根和
负的平方根;0的平方根是0;负数没有平方根;
 
  ③算术平方根
非负数;
 
  ④
 
  8. 立方根
  9. 非负数，正数和零统称非负数
  ①
;
三种非负数
 
  ②非负数之和仍为非负数，特别地，分别为零时和为零;
  ③非负数之积为非负数，特别地，至少有一个为零时积为零;
  10. 完全平方数
  如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，那么这个正数叫完全平方数，0也是完全平方数。
  11. 科学记数法
 
中
，n整数，当N>1时，n等于N的整数位数减1，当
时，n为负整数。
等于N的第一个非零数前零的个数和(包括小数点前面的零)。
 
  12. 近似数：近似地表示某个量准确值的数
  ①四舍五入到哪位，就精确到哪位;
  ②有效数字。
  13. 实数运算
  ①运算法则：
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ②实数运算顺序
  有括号时先算括号里的，没括号时，先乘方开方，再乘除，最后加减。
  ③无理数，二次根式运算，利用近似值;
  ④锐角三角函数值的有关计算;
  ⑤生活中的应用，统计中运算。
  【典型例题】
  例1. 计算
  1.
 
  2.
 
  3.
 
  解析：(1)根据分母有理化的法则，得
;
，根据零指数的意义(
时，
)可得
;由负整数指数的意义可得
。
 
  (2)类似可得
，
，
，
，
 
  (3)根据乘方的意义可得
;根据绝对值的意义得
;根据负整数指数幂的意义(若m、n为整数，p为正整数)，则
可得
 
  解：(1)原式
 
  (2)原式
 
  (3)原式
 
  例2. (1)当
时，
、
、
的大小顺序是( )
 
  A.
B.
 
  C.
D.
 
  2. 将
，
，
这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是( )
 
  A.
 
  B.
 
  C.
 
  D.
 
  解析：本题主要考查实数大小的比较，实数大小比较的方法有多种，下面给出此题的两种解法。
  解法1：(比差法)
 
 
 
 
 
 
  又
 
 
，
 
  解法2：(特殊值法)
 
，
取
 
  则有
，
 
  于是由
，可知
 
  解：1. C;2. A
  例3. 观察下列各式及其验证过程
 
验证：
 
 
 
 
验证：
 
 
 
  (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
的变形结果，并进行验证;
 
  (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且
)表示的等式，并给出证明。
 
  解析：(1)
 
  验证：
 
  (2)由题设及(1)的验证结果，可猜想对任意自然数n(
)都有：
 
 
 
  证明：
 
 
 
  例4. 在3.14，
，
，
，
，
，
，
(数字8后面“0”的个数逐次多一个)，
，
中，哪些是有理数?哪些是无理数?
 
  解析：根据有理数和无理数定义，可知：3.14、
、
、
、
、
都是有理数;
、
、
、
都是无理数。
 
  例5. (1)若
与
互为相反数，求x的值;
 
  (2)若
与
互为倒数，求x的值。
 
  解：(1)
与
互为相反数
 
 
 
  解这个方程，得
 
  (2)
与
互为倒数
 
 
 
  解得
或
 
  说明：不仅要会求一个数的相反数和倒数，而且能用一个代数式表示数的相反数和倒数;能利用相反数或倒数的关系构造方程。
  例6. 化去下列各式中绝对值的符号
  (1)
 
  (2)
，其中
 
  (3)
 
  分析：由绝对值的定义可知，如果
，
那么
;如果
，那么
，因此在去掉绝对值符号时，首先要分清绝对值符号内的数或者式子的值是正的、是负的、还是零。
 
  解：(1)
，
 
 
 
  (2)当
时，
，
 
 
 
 
 
  (3)当
，即
时，
 
  当
，即
时，
 
  当
，即
时，
 
  小结：化去绝对值符号的题目，一般可以分为两类：当绝对值符号内式子的值的正、负已
由题目的条件明确给出时，可根据绝对值定义直接去掉绝对值符号，否则就要先进行分类讨论。
  例7. 比较下列各组数的大小：
  (1)
和
 
  (2)
和
 
  解：(1)
，
 
 
 
 
 
  (2)
，
 
  而
 
 
 
  又
和
分别为
和
的算术平方根，均为正数
 
 
 
  说明：当a、b均为正数时，
。利用这个关系，可把正无理数分别平方，转化为有理数比大小。
 
  例8. (1)实数a、b在数轴上分别对应的点的位置如图1所示，则下列结论正确的是( )
 
 
  图1
  A.
B.
 
  C.
D.
 
  (2)已知实数a、b、c在数轴上分别对应的点的位置大致如图2所示，化简
 
 
 
  图2
  解：(1)由图1可知，