全册综合检测
A 卷——基本知能盘查卷 (时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是(  ) A ．380  B ．29  C ．32  D ．23
解析：选A 令380＝n (n ＋1)，即n 2
＋n －380＝0， 解得n ＝19或n ＝－20(舍去)， 所以380是{n (n ＋1)}的第19项． 同理，可检验B 、C 、D 不是该数列中的项．
2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为(  ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0  B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0
D ．(e －1)x －y －1＝0
解析：选C 由于y ′＝e －1
x
，所以y ′| x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)
处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.
3．已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2
等于(  ) A ．－5  B ．－3  C ．5  D ．3
解析：选C 由题意可得，S 4
S 2＝
a 1[1－－2
4
]
1－－
2a 1[1－－2
2
]
1－－
2
＝1＋(－2)2
＝5. 4．若函数f (x )＝a e x
－sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为(  ) A ．－1  B ．0  C ．1  D ．e 解析：选C f ′(x )＝a e x
－cos x ，
若函数f (x )＝a e x
－sin x 在x ＝0处有极值， 则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1， 经检验a ＝1符合题意，故选C.
5．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能为(
)
解析：选D 由函数y ＝f (x )的图象知，当x <0时，f (x )单调递减；当x >0时，f (x )先递增，再递减，最后再递增，分析知y ＝f ′(x )的图象可能为D.
6．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为(  ) A ．16  B ．27 C ．36
D ．81
解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，
由已知得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＝1，
3d综合版
a 3＋a 4＝9，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 2＝1，
q 2
a 1＋a 2＝9，
∴q 2
＝9.∵a n >0，∴q ＝3，∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27.故选B.
7．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2
＋2bx 在区间[－3,1]上不单调，则f (x )在R 上的极小
值为(  )
A ．2b －4
3
B ．32b －23
C ．0
D ．b 2
－16
b 3
解析：选A 由题意，得f ′(x )＝(x －b )(x －2)． 因为f (x )在区间[－3,1]上不单调，所以－3<b <1. 由f ′(x )>0，得x >2或x <b ； 由f ′(x )<0，得b <x <2，
所以f (x )的极小值为f (2)＝2b －4
3
.故选A.
8．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为(  )
A ．8 cm
B ．9 cm
C ．10 cm
D ．12 cm
解析：选C 设容器的高为x  cm ，容器的体积为V (x ) cm 3
，则容器的长为(90－2x ) cm ，宽为(48－2x ) cm ，所以容器的体积V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3
－276x 2
＋4 320x (0＜x ＜24)，V ′(x )＝12x 2
－552x ＋4 320＝12(x 2
－46x ＋360)．
由V ′(x )＞0，得0＜x ＜10；
由V ′(x )＜0，得10＜x ＜24，
所以V (x )在(0,10)上单调递增，在(10,24)上单调递减，故容器的体积V (x )最大时，该容器的高为10 cm.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，则下列命题中正确的是(  )
A ．若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0
B ．若S 4＝S 12，则使S n ＞0的n 的最大值为15
C ．若S 15＞0，S 16＜0，则{S n }中S 8最大
D ．若S 7＜S 8，则S 8＜S 9
解析：选BC 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝
a 1＋a 10×10
2
＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋
9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；
对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1＞0，则a 8＞0，a 9＜0，则有S 15＝
15
a 1＋a 15
2
＝15a 8＞0，S 16＝
16
a 1＋a 16
2
＝
16a 8＋a 9
2
＝0，
故使S n ＞0的n 的最大值为15，B 正确；
对于C ，若S 15＞0，S 16＜0，则S 15＝
15
a 1＋a 15
2
＝15a 8＞0，S 16＝
16a 1＋a 16
2
＝
16a 8＋a 9
2
＜0，则有a 8＞0，a 9＜0，则{S n }中S 8最大，C 正确；
对于D ，若S 7＜S 8，即a 8＝S 8－S 7＞0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误．故选B 、C.
10．设函数f (x )＝2
x
＋ln x ，则(  )
A ．x ＝1
2为f (x )的极大值点
B ．x ＝2为f (x )的极小值点
C ．f (x )的最大值为1＋ln 2
D ．f (x )的最小值为1＋ln 2 解析：选BD ∵f (x )＝2
x
＋ln x ，
∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2
x
2(x ＞0)，
由f ′(x )＝0得x ＝2.
当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， ∴x ＝2为f (x )的极小值点，f (x )无极大值点， 且f (x )的极小值也是最小值，为1＋ln 2，无最大值． 故选B 、D.
11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *
，都有S n
≥S 3，则a 6
a 5
的值可能为(  )
A ．2
B ．53  C.32  D ．4
3
解析：选ABC 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，
∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *
，都有S n ≥S 3，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
S 1≥S 3，
S 2≥S 3，S 4≥S 3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1≥3a 1＋
3×2
2
d ，2a 1
＋d ≥3a 1
＋3×2
2
d ，4a 1
＋4×32d ≥3a 1
＋3×22
d ，
∴－3d ≤a 1≤－2d (d ＞0)， ∴代入选项知，当a 6a 5＝a 1＋5d
a 1＋4d
＝2时，a 1＝－3d 成立；
当a 6a 5＝
a 1＋5d a 1＋4d ＝53时，a 1＝－52d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝32时，a 1＝－2d 成立；当a 6a 5＝
a 1＋5d
a 1＋4d
＝4
3
时，a 1＝－d 不成立．故选A 、B 、C. 12．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是(  )
A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝e －x
C ．f (x )＝ln x
D ．f (x )＝tan x
解析：选AC 对于A ，若f (x )＝x 2
，则f ′(x )＝2x .令x 2
＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x
，则f ′(x )＝－e －x
，即e －x
＝－e －x
，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x .若ln x ＝1
x
，利用数形
结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x cos x ′
＝
1
cos 2x
.令f (x )＝f ′(x )，可得
sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2
－2n ＋1－[3(n －1)2
－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2，n ＝1，
6n －5，n ≥2.
答案：⎩
⎪⎨
⎪⎧
2，n ＝1，
6n －5，n ≥2
14．函数f (x )＝x －a ln x (a >0)的极小值为________． 解析：因为f (x )＝x －a ln x (a >0)，
所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a
x
(a >0)． 由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，
所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a . 答案：a －a ln a
15．曲线y ＝sin x x
在点M (π，0)处的切线方程为________．
解析：因为y ′＝
cos x ·x －sin x
x 2
，所以所求切线的斜率为k ＝y ′| x ＝π＝
πcos π－sin ππ2
＝－1π.由于切点坐标为(π，0)，故切线方程为y ＝－1
π
(x －π)， 即x ＋πy －π＝0. 答案：x ＋πy －π＝0
16．数列{a n }的前n 项和S n 满足a 2＝2，S n ＝12n 2
＋An ，则A ＝________，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.
解析：∵a 2＝S 2－S 1＝(2＋2A )－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋A ＝2，
∴A ＝12
.
∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
2
n －1
2
＋1
2n －1＝n .