考研数学三（无穷级数）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设pn=(an+丨an丨）/2，qn=(an-丨an丨）/2，n=1,2,…,则下列命题正确的是
A．若an条件收敛，则pn与qn都收敛
B．若an绝对收敛，则pn与qn都收敛
C．若an条件收敛，则pn与qn的敛散性都不定
D．若an绝对收敛，则pn与qn的敛散性都不定
3 d正确答案：B      涉及知识点：无穷级数
2． 设一下命题：①若(u2n-1+u2n)收敛，则un收敛.②若un收敛，则un+1000收敛.③若un+1/un＞1，则un发散.④若(un+vn)收敛，则un，vn都收敛.则以上命题中正确的是
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
正确答案：B      涉及知识点：无穷级数
3． 设an＞0，n=1,2,…,若an发散，（-1）n-1an收敛，则下列结论正确的是
A．a2n-1收敛，a2n发散.
B．a2n收敛，a2n-1发散.
C．(a2n-1+a2n)收敛.
D．(a2n-1-a2n)收敛.
正确答案：D      涉及知识点：无穷级数
4． 若an收敛，则级数
A．丨an丨收敛
B．（-1）nan收敛
C．anan+1收敛
D．(an+an+1)/2收敛
正确答案：D      涉及知识点：无穷级数
5． 设{un}是数列，则下列命题正确的是
A．若un收敛，则（u2n-1+u2n）收敛.
B．若(u2n-1+u2n)收敛，则un收敛.
C．若un收敛，则(u2n-1-u2n)收敛.
D．若(u2n-1-u2n)收敛，则un收敛.
正确答案：A      涉及知识点：无穷级数
6． 已知级数据对收敛，级数条件收敛，则
A．0＜a≤1/2
B．1/2＜a≤1
C．1＜a≤3/2
D．3/2＜a＜2
正确答案：D      涉及知识点：无穷级数
7． 下列各项正确的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：A      涉及知识点：无穷级数
8． 设un=（-1）2ln，则级数
A．
B．
C．
D．
正确答案：C      涉及知识点：无穷级数
9． 设an＞0（n=1，2，…，且an收敛，常数λ∈（0，π/2),则级数（-1）n(ntanλ/n)a2n
A．绝对收敛
B．条件收敛
C．发散
D．敛散性与λ有关
正确答案：A      涉及知识点：无穷级数
10． 设un≠0（n=1,2，…），且
A．发散
B．绝对收敛
C．条件收敛
D．收敛性根据所给的条件不能判定
正确答案：C      涉及知识点：无穷级数
11． 的收敛半径为
A．5
B．4
C．3
D．2
正确答案：A      涉及知识点：无穷级数
12． 设幂级数anxn的收敛半径为3，则幂级数nan(x-1)n+1的收敛区间是
A．(-2,4）
B．(-2,5）
C．(-2,3）
D．(-2,1）
正确答案：A      涉及知识点：无穷级数
13． 设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则(    )．
A．α1，α2，α3线性相关
B．α1，α2，α3线性无关
C．α1可用β，α2，α3线性表示
D．β可用α1,α2线性表示
正确答案：C      涉及知识点：无穷级数
填空题
14． 已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数an(x-3)n的收敛域为______.
正确答案：(1,5]      涉及知识点：无穷级数
15． 设{an}单调减少，an=0，Sn=ak(n=1,2,…)无界，则幂级数an（x-1)n的收敛域为_______.
正确答案：[0,2)      涉及知识点：无穷级数
16． 已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x3-2x2x3的正、负惯性指数都是1，则a=_________．
正确答案：-2      涉及知识点：无穷级数
17． 设向量组α1，α2，α3线性无关，问常数a，b，c满足什么条件时，aα1-α2，bα2-α3，cα3-α1线性相关?
正确答案：abc=1．      涉及知识点：无穷级数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18． 已知f(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=e/n，求函数项级数fn(x)之和．
正确答案：由已知条件可知fn(x)满足f’n(x)-fn(x)=xn-1ex其通解为fn(x)=ex（xn/n+C）.由条件f1(x)=e/n,可确定常数C=0，故fn(x)=ex（xn/n+C）.从而      涉及知识点：无穷级数
19． 求幂级数的和函数f(x)及其极值。
正确答案：      涉及知识点：无穷级数
20． 求幂级数x2n在区间（-1,1）内的和函数S（x）.
正确答案：      涉及知识点：无穷级数
21． 设银行存款的年利率为r=0．05，并依年复利计算．某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元?
正确答案：      涉及知识点：无穷级数
22． 幂级数xn的收敛半径为_________.
正确答案：1/e      涉及知识点：无穷级数
23． 幂级数x2n-1的收敛半径为_________.
正确答案：      涉及知识点：无穷级数
24． 求幂级数xn/n的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.
正确答案：时，愿幂级数收敛.      涉及知识点：无穷级数
25． 求幂级数x2n的收敛域和函数.
正确答案：      涉及知识点：无穷级数
26． 将函数f(x)=x/(2+x-x2)展开成x的幂级数.
正确答案：      涉及知识点：无穷级数
27． 将函数y=ln(1-x-2x2)展开成x的幂级数，并指出其收敛区间.
正确答案：1-x-2x2=(1-2x)(1+x)可知，ln(1-x-2x2)=ln(1+x)+ln(1-2x)      涉及知识点：无穷级数
28． 将函数f(x)=1/(x2-3x-4)展开成x-1的幂级数，并指出其收敛区间.
正确答案：      涉及知识点：无穷级数
29．
正确答案：      涉及知识点：无穷级数
30． 有k个坛子，每一个装有n个球，分别编号为1至n，今从每个坛子中任取一球，求m是所取的球中的最大编号的概率．
正确答案：每次取球编号有n种可能，k次取球共有nk种可能，而“取得号码不超过m”的可能取法有mk，类似地，“取得号码不超过m-1”的可能取法有(m-1)k，故“m为最大号码”的取法有mk- (m-1)k种，则P(m为最大号码)=[mk-(m-1)k]/nk．      涉及知识点：无穷级数
31． 已知P(A)=0．4，P(B)=0．25，P(A-B)=0．25，求P(AB)，P(A∪B)，P(B-A)
正确答案：利用概率性质P(A-B)=P(A)-P(AB)，有    P(AB)=P(A)-P(A-B)=0．4-0．25=0．15；    根据加法公式，得    P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0．4+0．25-0．15=0．5；    根据减法公式，有    P(B-A)=P(B)-P(AB)=0．25-0．15=0．1；      涉及知识点：无穷级数
32． 将13个分别写有A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN”的概率．
正确答案：P(13个卡片排成单词“MATHEMATICIAN”)=(3!×1×1×1×2!×2!×1×2!)/13!=48/13!．      涉及知识点：无穷级数
33． 一个均匀的四面体，其第一面染红，第二面染白，第三面染黑，而第四面染红、白、黑三种颜，以A、B、C分别记投掷一次四面体，底面出现红、白、黑的三个事件，判断A、B、C是否两两独立，是否相互独立．