换面法
一、 换面法概述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。
换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。
1．换面法的基本概念
换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后出其在新投影面上的投影。
2．新投影面的选择原则
（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；
（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；
（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。
二、 点的换面
点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。
1．点的一次换面
  （1）换V面
图2-25（a）表示点A在原投影体系V/H中，其投影为和现令H面不动，用新投影面V1来代替V面，V1面必须垂直于不动的H面，这样便形成新的投影体系V1/H，O1X1是新投影轴。
过点A向V1面作垂线，得到V1面上的新投影，点是新投影，点是旧投影，点是新、旧投影体系中的共有的不变投影。和是新的投影体系中的两个投影，将V1面绕O1X1轴旋转到与H面重合的位置时，就得到图2-25（b）所示的投影图。由于在
 
      （a）                    （b）                  （c）
图2-25点的一次变换（换V面）
新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系：
⊥O1X1轴；==A，即：换V面时Z坐标不变。
由此得出点的投影变换规律是：
①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；
②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。
换V面的作图方法和步骤如图2-25（c）所示：
①在被保留的H投影附近（适当的位置）作O1X1轴；
②由H投影向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取=，点即为所求。
（2）换H面
换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：
⊥O1X1轴；==A，换H面是Y坐标不变。
其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。
2．点的二次换面
由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。
但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，
必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如2-26（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。
二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示：
（1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影，而==A，作图方法与点的一次换面完全相同；
（2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影，而==A，作图方法与点的一次换面类似。
                       
              （1）                                （2）
图2-26点的二次换面
注：根据实际需要也可以先换V 面，后换H 面，但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换，如：→→→……。
三、几个基本作图问题   
1．将一般位置直线变换为投影面的平行线
如图2-27（a）为把一般位置直线AB变换为投影面平行线的情况。用V1面代替V面，使V1面∥AB并垂直于H面。此时，AB在新投影体系V1/H中为正平线。图2-27（b）为投影图。作图时，先在适当位置画出与不变投影平行的新投影轴O1X1（O1X1∥），然后根据点的投影变换规律和作图方法，求出A、B两点在新投影面V1上的新投影、，再连接直线。则反应线段AB的实长，即=AB，并且新投影和新投影轴（O1X1轴）的夹角即为直线AB对H面的倾角α，如图2-27（b）。
如图2-27（c）所示若求线段AB的实长和与V面的倾角β，应将直线AB 变换成水平线（AB∥H1面）也即应该换H面，建立V/H1新投影体系，，基本原理和作图方法同上。
 
 
    （a）                    （b）                    （c）
图2-27将一般位置直线变换为投影面平行线
2．将投影面的平行线变换为投影面垂直线
  将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。应该
选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。
如图2-28（a）表示将水平线AB变换为新投影面的垂直线的情况。图2-28（b）表示投影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB，而AB为水平线，所以新投影面一定垂直于H面，故应换V面，用新投影体系V1/H更换旧投影体系V/H，其中O1X1⊥。
         
            （a）                        （b）
图2-28将投影面的平行线变换为投影面垂直线
3．将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）
如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。
如图2-29所示，先换V面，使直线AB在新投影体系V1/H中成为正平线，然后再换H面，使直线AB在新投影体系V1/H2中成为铅垂线。其作图方法详见图2-29（b），其中O1X1∥，O2X2⊥。
           
            （a）                                  （b）
图2-29直线的二次换面
4．将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）
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