float和double的精度
作者： jillzhang
联系⽅式：
1 范围
float和double的范围是由指数的位数来决定的。
float的指数位有8位，⽽double的指数位有11位，分布如下：
float：
1bit（符号位）
8bits（指数位）
23bits（尾数位）
double：
1bit（符号位）
11bits（指数位）
52bits（尾数位）
在数学中，特别是在计算机相关的数字（浮点数）问题的表述中，有⼀个基本表达法[1]：
float数值范围 value of floating-point = significand x base ^ exponent , with sign --- F.1
译为中⽂表达即为：
（浮点）数值 = 尾数 × 底数 ^ 指数，（附加正负号）---------------- F.2
于是，float的指数范围为-127~128，⽽double的指数范围为-1023~1024，并且指数位是按补码的形式来划分的。其中负指数决定了浮点数所能表达的绝对值最⼩的数；⽽正指数决定了浮点数所能表达的绝对值最⼤的数，也即决定了浮点数的取值范围。
float的范围为-2^128 ~ +2^128，也即-3.40E+38 ~ +3.40E+38；double的范围为-2^1024 ~ +2^1024，也即-1.79E+308 ~ +1.79E+308。
2 精度
float和double的精度是由尾数的位数来决定的。浮点数在内存中是按科学计数法来存储的，其整数部分始终是⼀个隐含着的“1”，由于它是不变的，故不能对精度造成影响。
float：2^23 = 8388608，⼀共七位，这意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即float的精度为6~7位有效数字；double：2^52 = 4503599627370496，⼀共16位，同理，double的精度为15~16位。
单精度类型（float）和双精度类型(double)存储
2009-11-24 13:57
C 语⾔和C#语⾔中，对于浮点类型的数据采⽤单精度类型（float）和双精度类型(double)来存储，float数据占⽤32bit, double数据占⽤64bit，我们在声明⼀个变量float f= 2.25f的时候，是如何分配内存的呢？如果胡乱分配，那世界岂不是乱套了么，其实不论是float还是double在存储⽅式上都是遵从IEEE的规范的，float遵从的是IEEE R32.24 ,⽽double 遵从的是R64.53。
⽆论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：
1. 符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负
2. 指数位（Exponent）:⽤于存储科学计数法中的指数数据，并且采⽤移位存储
3. 尾数部分（Mantissa）：尾数部分
其中float的存储⽅式如下图所⽰：
⽽双精度的存储⽅式为:
R32.24和R64.53的存储⽅式都是⽤科学计数法来存储数据的，⽐如8.25⽤⼗进制的科学计数法表⽰就为:8.25*100,⽽120.5可以表⽰
为:1.205*102, 这些⼩学的知识就不⽤多说了吧。⽽我们傻蛋计算机根本不认识⼗进制的数据，他只认识0，1，所以在计算机存储中，⾸先要将上⾯的数更改为⼆进制的科学计数法表⽰，8.25⽤⼆进制表⽰可表⽰为1000.01，我靠，不会连这都不会转换吧?那我估计要没辙了。120.5⽤⼆进制表⽰为：1110110.1⽤⼆进制的科学计数法表⽰1000.01可以表⽰为1.0001*23,1110110.1可以表⽰为1.1101101*26，任何⼀个数都的科学计数法表⽰都为1.xxx*2n, 尾数部分就可以表⽰为xxxx，第⼀位都是1嘛，⼲嘛还要表⽰呀？可以将⼩数点前⾯的1省略，所以23bit 的尾数部分，可以表⽰的精度却变成了 24bit，道理就是在这⾥，那24bit能精确到⼩数点后⼏位呢，我们知道9的⼆进制表⽰为1001，所以4bit能精确⼗进制中的1位⼩数点， 24bit就能使float能精确到⼩数点后6位，⽽对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能
表⽰的指数范围就应该为:-127-128了，所以指数部分的存储采⽤移位存储，存储的数据为元数据+127，下⾯就看看8.25和120.5在内存中真正的存储⽅式。
⾸先看下8.25，⽤⼆进制的科学计数法表⽰为:1.0001*23
按照上⾯的存储⽅式，符号位为:0，表⽰为正，指数位为:3+127=130 ，位数部分为，故8.25的存储⽅式如下图所⽰:
⽽单精度浮点数120.5的存储⽅式如下图所⽰:
那么如果给出内存中⼀段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你如何知道该数据的⼗进制数值呢？其实就是对上⾯的反推过程，⽐如给出如下内存数据：0100001011101101000000000000，⾸先我们现将该数据分段，0 10000 0101 110 1101 0000 0000 0000 0000，在内存中的存储就为下图所⽰：
根据我们的计算⽅式，可以计算出，这样⼀组数据表⽰为:1.1101101*26=120.5
⽽双精度浮点数的存储和单精度的存储⼤同⼩异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这⾥不再详细的介绍双精度的存储⽅式了，只将120.5的最后存储⽅式图给出，⼤家可以仔细想想为何是这样⼦的
下⾯我就这个基础知识点来解决⼀个我们的⼀个疑惑，请看下⾯⼀段程序，注意观察输出结果
float f = 2.2f;
double d = (double)f;
Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
f = 2.25f;
d = (double)f;
Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
可能输出的结果让⼤家疑惑不解，单精度的2.2转换为双精度后，精确到⼩数点后13位后变为了2.2000000476837，⽽单精度的 2.25转换为双精度后，变为了2.2500000000000，为何2.2在转换后的数值更改了⽽2.25却没有更改呢？很奇怪吧？其实通过上⾯关于两种存储结果的介绍，我们已经⼤概能到答案。⾸先我们看看2.25的单精度存储⽅式，很简单 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,⽽2.25的双精度表⽰为:0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000，这样2.25在进⾏强制转换的时候，数值是不会变的，⽽我们再看看2.2呢，2.2⽤科学计数法表⽰应该为：将⼗进制的⼩数转换为⼆进制的⼩数的⽅法为将⼩数*2，取整数部分，所以0.282=0.4，所以⼆进制⼩数第⼀位为0.4的整数部分0，0.4×2=0.8，第⼆位为0,0.8*2= 1.6，第三位为1，
0.6×2 = 1.2，第四位为
1，0.2*2=0.4，第五位为0，这样永远也不可能乘到=1.0，得到的⼆进制是⼀个⽆限循环的排列 ，对于单精度数据来说，尾数只能表⽰24bit的精度，所以2.2的float存储为:
但是这样存储⽅式，换算成⼗进制的值，却不会是2.2的，应为⼗进制在转换为⼆进制的时候可能会不准确，如2.2，⽽double类型的数据也存在同样的问题，所以在浮点数表⽰中会产⽣些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题，对于能够⽤⼆进制表⽰的⼗进制数据，如 2.25，这个误差就会不存在，所以会出现上⾯⽐较奇怪的输出结果。
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