三角函数诱导公式的统一和推广形式
吴家华（四川省遂宁中学校  629000）
高中课本《数学》（必修四）介绍诱导公式的主要目的是利用它们可以求出任意角的三角函数值，但利用课本上介绍的诱导公式求三角函数值往往需要经过多次转化才能实现，其一般步骤为：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→~ 360°的角的三角函数→锐角三角函数→求值. 笔者在教学实践中发现，每届学生面对这些公式都处于“两难”境地，一是公式记忆难（公式记不住且又常常记错），二是公式应用难（公式多不知道如何选择和使用公式）.
笔者通过观察、分析、归纳，发现这些诱导公式可以统一和推广为下面四组形式：
    （）把，角的三角函数的诱导公式统一和推广为：
 
（）把，，角的三角函数的诱导公式统一和推广为：
 
（）把，角的三角函数的诱导公式统一和推广为：
 
（）把，角的三角函数的诱导公式统一和推广为：
     
    以上公式中的角均为锐角.
现证明其中的两个公式：（1），（）；
（2），（）.
证明：（1）∵，
∴当时，
,
当时，
          .
∴，成立.
（2）∵，
∴当时，
     
                ，
当时，
                .
∴，成立.
类似地我们可以证明其余的公式.
有了上面诱导公式的统一和推广形式，那么求任意角的三角函数值的一般步骤就可以简化为：任意角的三角函数→锐角三角函数→求值. 这样利用上面四组公式求任意角的三角函数值就显得简单易行. 请看下面的例子.
例1. 求下列各三角函数值：
（1）； （2），  （3）.
解：（1）；
（2）；
（3）原式
           
            .
例2. 已知，且，求的值.
解：∵，∴，即.
又∵，∴，且.
∴tan.
∴原式.
例3. 化简：（1），其中.
（2），其中.
解：（1）原式
           
            .
（2）原式.
例4. 求证：（1）；
（2）.
证明：（1）∵左边右边，
∴原式成立.
（2）三角函数诱导公式推导∵左边右边，
∴原式成立.
综上所述，只要我们掌握了本文中的诱导公式的统一和推广形式，对于我们解决任意角的三角函数的求值问题是非常简单便捷的，它可以大大提高我们的解题速度，也可以提高课堂教学效率，真正实现高效课堂、高效学习.
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