【掌握目标】
1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(
απαπ
±±,2
的正弦、余弦、正切)；
2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.
【要点梳理】 要点一：诱导公式
诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈ 诱导公式二： sin()sin παα+=-，  cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈ 诱导公式三： sin()sin αα-=-，    cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式四：sin()sin παα-=， cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈
诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-=
⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+=
⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫
三角函数诱导公式推导
+=- ⎪⎝⎭
，其中k Z ∈ 要点诠释：
(1)要化的角的形式为α±⋅ 90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； (4)sin cos cos 444x x x πππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+
=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
要点二：诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.
要点三：三角函数的三类基本题型
(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所
在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.
(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.
(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简. 化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. (4)三角函数的综合运用题型，联合以上三点综合出题
【典型例题】
类型一：利用诱导公式求值
例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sin
cos tan()634
πππ
++-； （2）()()
cos 585tan 300---
【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．
【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．
举一反三：
【变式1】（1）10sin 3π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．
例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．
【总结升华】求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．
举一反三：
【变式1】（2016 湖北孝感期末）已知角α为第四象限角，且4
tan 3
α=-
（1）求sin α+cos α的值； （2）求
sin()2cos()
33
sin()cos()
22
παπαπαπα-++-+的值．
【变式2
】已知3sin()2παπβ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，
求α和β的值．
类型二：利用诱导公式化简
例3．化简
(1)
sin(180)sin()tan(360)
tan(180)cos()cos(180)
αααααα-++--+++-+-；
(2)
sin()sin()
()sin()cos()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.
【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.
举一反三：
【变式1】化简 （1）()sin
2
n n Z π
∈；  （2）
sin()cos[(1)]
sin[(1)]cos(]
k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．
类型三：利用诱导公式进行证明
例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：
1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛
⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．
举一反三：
【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=； （2）sin cos 22
A B C +=；
【变式2】求证：2
32sin cos 1tan(9)1
2212sin ()tan()1
ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-．
类型四：诱导公式的综合应用
例5．（2015秋 浙江岱山县月考）
()sin()cos(2)tan()tan()sin()f απαπααππααπ=-----+--
（1）化简()f α；
（2）若α是第三象限角，且31
cos()25
πα-
=，求()f α的值； （3）若α=－1860°，求()f α的值．
举一反三：
【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫
⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值．
【答案】
类型一：利用诱导公式求值
例1． 【答案】（1）0（2
）2-（3）1
6
【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634
π
ππ
πππ+
++-+
sin
cos
tan
63
4
11
1022
π
π
π
=+-=+-=
（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-          =cos 45tan 60--
=举一反三：
【变式1】【答案】（1
2
）3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-
=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛
⎫=-+=- ⎪⎝⎭
sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛
⎫=-+=--==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． （2）3177cos
cos 4cos 666ππππ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭cos cos 662πππ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝
⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．