导数-----单调性的分类讨论方法总结
函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。
以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:
第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况
（1）偶次根式，根号下整体大于0
（2）分式，分母不等于0
（3）对数函数，真数大于0
（4），（）整体不等于
第二步：求函数导数，令，解出它的根
注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负
第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。
（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围
（2），得到参数取值范围
（3），得到参数取值范围
（4）得到参数取值范围
第四步：判断把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。判断导数正负有以下三种方法：
（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多
（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子
（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负
第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的
【例题详解】
例1.（2011，浙江高考改编）设函数，求单调区间
解：该函数定义域为（第一步：对数真数大于0求定义域）
令，解得
（第二步，令导数等于0，解出两根）
（1）当时，
单调增，单调减
（第三步，存在，不存在得到；第四步数轴穿根或图像判断正负）
（2）当时，不存在
单调增，单调减
（第三步，存在，不存在得到第四步数轴穿根或图像判断正负）
（3）当时，
单调减
（第三步，得到第四步很显然-2x<0恒成立）
综上可知：当时单调增， 单调减;当时,单调增，单调减；当时，单调减
（第五步综述一定要有）
小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。讨论一根不存在的时候，又分了两种情况，不存在或者不存在。因为本题一根存在，另一根就必然不存在，故不存在比较两根大小的情况。因式分解后我们发现最高次为负，数轴穿根的时候我们从下往上穿，也可以用图像法判断导数正负。
例2：已知，求单调区间
解：该函数定义域为（第一步：对数真数大于0求定义域）函数的定义域怎么算
令，解得
（第二步，令导数等于0，解出两根）
（1）当时，
单调增，单调减
（第三步，不存在得到；第四步数轴穿根或图像判断正负）
（2）当时即
单调增，
（第三步，得到第四步图像判断正负）
（3）当时，即
单调增，单调减
（第三步，得到；第四步图像判断正负）
（4）当时，即
单调增，单调减
（第三步，得到；第四步图像判断正负）
综上可知：
，单调增，单调减；
，单调增
单调增，单调减
，单调增， 单调减
小结：这是一道稍微复杂的分类讨论单调性，按照我们的步奏，每一步都清晰明朗，这道题4种情况全部都讨论到。讨论一根不存在的时候，只要就不在定义域内了。
特别注意判断正负时我们用图像法，画出和的图像，判断它们乘积的正负就很简单了。
例3（2016，北京理）已知 ，求单调区间
解：（明显一阶导不能解出根或者判断出正负，必须要求二阶导）
    令 ，得到x=2（令二阶导为0，解出二阶导的根）
单调减，单调增
(判断一阶导单调性）
所以(求出一阶导的最值）
所以在R上单调增
小结：这道题我们求了一阶导后发现解不了这个方程，那么我们就应该转换思路求它的二阶导数，通过二阶导的正负得到一阶导的单调性，从而得到一阶导的最小值，进而得到一阶导的正负，判断出原函数的单调性。这属于第三步中求不出来根也判断不了正负的情况。