第34卷第1期2021年1月
金融教育研究
Research of Finance and Education
Vol.34No.1
Jan.2021基于二叉树模型的可转债定价:
定价偏差的影响因素分析
蒋崇辉"，奉琳a
（江西财经大学a.金融学院；b.金融发展和风险防范研究中心，江西南昌330013）
摘要：对可转债进行准确定价不管是在学术界还是在业界都是非常重要的问题。选择我国49只可转债为样本，在基于二叉树模型对可转债进行定价的基础上，进一步从影响可转债理论价格和市场价格两个角度实证分析影响定价偏差率的因素。结果发现：（1）由二叉树模型得到的理论价格平均而言高于可转债的市场价格，理论价格高出市场价格约2%，且随着二叉树步数的增加，定价偏差率的均值和中位数呈下降趋
势；（2）代表个别可转债市场行情的纯债溢价率和代表整个可转债市场行情的指数累计收益率对定价偏差率产生显著的负向影响，而代表债券投资风险的信用评级和剩余时间对定价偏差率产生显著的正向影响。
关键词：可转债定价；二叉树；定价偏差；影响因素
中图分类号:F830.91文献标识码:A文章编号：2095-0098（2021）01-0021-10
—、弓I言
可转换债券（简称为可转债）是一种赋予购买者在一定期间以一定比例（转换比例）将债券转换为标的股票权力的信用债券。众所周知，对可转债进行准确定价不管是对发行人还是投资者都非常关键。然而，一方面由于可转债兼具债券和股票的性质，而且可转债的这两个价值组成部分又相互影响；另一方面由于可转债中包含有多种形式的期权（如转股权、赎回权、回售权以及转股价格修正条款等），而且这些期权还具有标的股票价格路径依赖的特征，使得对可转债的准确定价变得非常困难。
目前文献中对可转债定价的方法主要包括有三类：第一类是旨在得到可转债定价封闭解的解析法。在这类方法中，有学者将公司价值作为转股期权的标的变量，进而运用Black-Scholes期权定价的逻辑和方法，导出可转债的理论价格（Ingersoll,1977；Brennan and Schwartz,1977,1980；Finnerty,2015；陈晓
红等，2007）UT；而另一些学者认为公司价值是不可交易资产，在实践中难以进行参数估计，因此他们提出以股票价值为标的变量的定价模型（McConnell and Schwartz,1986）M o不管是以公司价值作为期权标的变量还是以股票价值作为标的变量，在这些定价方法中，学者们没有将除转股期权之外的其他的附属期权纳入定价过程，也没有将与期权执行有关的路径依赖特征考虑进来，因而，得到的定价公式以及根据定价公式计算得到的定价结果是粗糙的。
第二类方法旨在通过数值计算的途径得到可转债的价值，其主要包括有限差分法［2>3'7］，有限元法68,9，如、二叉树法⑴*切、三叉树法「7®以及柳树法迦］。相对于解析法，数值计算方法的优点在于其能将除转股期权之外的其他的附属期权都纳入定价当中；然而，与解析法类似，这些数值计算方法也很难将与
收稿日期：2020-03-20
基金项目：国家自然科学基金资助项目（71961007,71471029）；江西省高校人文社会科学重点研究基地项目（JD18093）
作者简介：蒋崇辉（1980-），男，湖南永州人，博士，教授，博士生导师，研究方向为金融工程。
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期权执行有关的路径依赖特征考虑进来。第三类为蒙特卡洛模拟法［21-27］o模拟法通常假设标的股票价格服从某一随机过程，然后生成大量的股票价格路径，在此基础上，再采用逆向倒推的方法最终得到可转债价值。理论上讲，模拟法能有效克服解析法和数值计算法的缺陷，较好处理路径依赖问题，但只有在模拟的股价路径数量非常大的情况下，才能得到较为可靠的结果，而随着股票价格路径数量的增加，计算过程将变得非常耗时，以至于现有的用模拟法对可转债定价的文献中鲜有考虑路径依赖特征⑵］。
相对于解析法的粗糙和模拟法的耗时，数值计算方法显得更简单有效，正因为如此，本文采取二叉树方法对我国可转债定价进行实证分析。具体而言，我们选择截止到2019年2月1日已上市交易满一年、且仍处在上市状态、并且在交易期限中不存在超过一年停牌现象的可转债为样本(共49只)，将样本债券自上市日开始直到2019年2月1日的每个交易日作为定价点(共17196定价点)，使用二叉树模型计算定价点的理论价格，通过将理论价格和定价点的市场价格进行比较，计算和分析定价偏差率的大小。
由于定价偏差率是将理论价格和市场价格进行比较得到，因此，凡是影响可转债理论价格或市场价格的因素都会对定价偏差率产生影响。就本文采取的二叉树定价方法而言，不同的二叉树模型的步数必然会得到不同的理论价格，进而对定价偏差率产生影响。此外，学者们深知可转债的市场特征会影响投资者行为，进而会影响市场价格，因此，这些影响投资者行为的因素也会对定价偏差率产生影响。比如,Ammann et al. (2003,2008)MQ主要考察了纯债溢价率和债券的信用级别对定价偏差率的影响；Batte
n et al.(20⑻匈则从可转债剩余期限和信用等级等方面分析影响定价偏差率的因素。刘峨平和韦科帆(2006)［12］研究发现可转换债券是否处于转换期、可转债剩余期限、内嵌期权的价值状态以及转股价等因素均对定价偏差产生显著影响。郑振龙和林海(2004)［29］甚至将可转债的定价偏差归咎于市场无效。虽然现有的文献都有发现上述因素对定价偏差率产生影响的证据，然而，这些文献在揭示各因素对定价偏差率的影响机理方面仍然不够清晰，而且不同的文献得到的结果也并不一致。
基于此，本文一方面从影响可转债理论价格的角度，考察不同二叉树模型的步数对定价偏差率的影响；此外，我们还从影响投资者行为，进而影响可转债市场价格的角度，考察了可转债市场行情特征和投资风险特征对定价偏差率的影响。结果发现，第一，平均而言，由二叉树模型得到的可转债理论价格高于市场价格，理论价格平均高出市场价格约2%，且随着二叉树模型步数的不断增加，定价偏差率呈下降趋势。其次，通过回归分析，我们发现代表个别可转债市场行情的纯债溢价率以及代表整个可转债市场行情的指数累计收益率对定价偏差率产生显著的负向影响；而代表投资可转债风险的信用级别以及剩余期限均对定价偏差率产生显著的正向影响。
本文贡献主要表现在以下两个方面：第一，选择了49只可转债“从上市日开始直到2019年2月1日”的多个交易日作为定价样本点进行实证分析，这使得能够得到足够多的定价结果来计算和分析定价偏差率的大小，这相对于现有考察中国可转债定价的实证分析中只包含少数几只可转债或考察较短定价期间的情况更具有可信度和说服力。第二，同时从影响定价结果和可转债市场价格的两个角度分析了影响定价偏差
率的因素，进而拓宽了分析影响可转债定价偏差率的空间。
后文的结构安排如下：第二部分一方面简述二叉树模型在可转债定价中的步骤和过程，并描述了二叉树定价的实证设计；第三部分是从可转债市场行情特征和可转债投资风险两个方面分析影响定价偏差率的因素，并描述对应变量的计算；第四部分为实证结果及其分析；第五部分总结全文。
二、定价方法和样本选择
可转债定价的二叉树方法
(一)
1.可转债中最优期权执行决策分析
在运用二叉树方法对可转债进行定价的过程中，分析可转债中各种期权执行的最优决策是对可转债进行准确定价的前提。基于此，首先分析可转债中最优期权执行决策问题。
考虑一个期限为T，面值为F，票面利率为i，内嵌有转股、赎回和回售的可转债的定价问题，为了描述的方便，我们忽视了股价向下修正条款所包含的期权。通常而言，在我国可转债的设计过程中，转换期和赎
第1期蒋崇辉，等基于二叉树模型的可转债定价：定价偏差的影响因素分析23
回期是一致的，而回售期是转换期和赎回期的子集。基于此，我们假设该债券的转换期(n conv)和赎回期(n call)为Qgm=Q汕=［爲，刃，回售期Qgt=［笃，口，其中，T>T2>T1，如图1所示。对于任意的时刻t，首先，假设/时刻标的股票的价格、转股价格以及转换比例分别为S t,K t和n t；其次，进一步假设债券预期未来收益贴现到当前时刻的价值为K,K可以理解为没有任何期权被执行而可转债被继续持有的价值。基于以上假设，接下来我们分析不同时刻各期权的最优执行决策，以及对应的收益(payoff)。
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t=Q Z T.T
图1可转债转换期、赎回期以及回收期之间的关系
当t=丁，一方面债券持有人既可以选择执行转换期权，得到转换价值灯S”也可以选择“持有债券到期”，得到纯债价值V T。通常而言，依据可转债的到期赎回条款，可转债到期时发行人会以“到期赎回价格”赎回可转债，而这一价格介于回售价格与赎回价格之间，当债券到期时，投资者仅面临被发行人以到期赎
回价赎回或转股两种选择，则赎回权和回售权均没有价值，所以，这里并没有考察债券到期时这两种权利。因而，此时可转债给债券持有人带来的收益为max(5,7iySy)。
当t参T e H put，此时债券持有人既可以选择执行转换期权，得到转换价值"3，也可以选择执行回售期权，得到回售价格巴，还可选择继续持有可转债，其价值匕；另一方面，债券发行人可以选择执行赎回期权，此时债券持有人得到赎回价格C t。为简化起见，当可转债中某一期权被执行时，我们均假设应计利息均包含在对应的价格当中。为了便于分析，我们分两类情况进行讨论：第一类情况是债券发行人执行期权给投资者带来的价值大于债券持有人执行期权的价值，即C~ma心S,,PJ；第二类情况是债券发行人执行期权给投资者带来的价值小于债券持有人执行期权的价值，即C,<max(n,S,,Pj。表1展示了不同情况下可转债中期权的最优执行情况以及给债券持有人带来的收益。
表1当心t w n put时可转债中最优期权执行分析
期权执行情况分析
第一类情况：C,M max(zi,S,,P,)
C,M max(zi,S,,P,)M V,
C,>V,max(n,S l,P,)
V,C,>max(7i,S,,P()
第二类情况：C,<max(zi,S,,P,) C,<max(n,S(,P()W V,
C,W X<max(n,S l,P,)
V,W C,<max(n,S l,P,)债券发行人不会选择执行赎回权，债券持有人选择执行
转股权或回售权
债券发行人和持有人均不会选择执行期权
债券发行人会选择执行期权，债券持有人欣然接受债券
稜赎回。
收益
max(",S,,P,)
V,
C,
债券发行人会选择执行赎回期权，但如果债券被赎回还
不如债券持有人执行期权得到的收益多，所以，此时债max(",s,，人)券持有人会被迫执行期权。
债券发行人会选择执行赎回期权，但如果债券被赎回还
不如债券持有人执行期权得到的收益多，所以，此时债max(",S,,P,)券持有人会被迫执行期权。
债券发行人不会选择执行赎回期权，债券持有人会选择max("S P)执行期权。
当/G(l conv n H put，此时债券持有人可以选择执行转换期权，得到转换价值，也可选择继续持有可转债，其价值匕；另一方面，债券发行人可以选择赎回期权，此时债券持有人得到赎回价格C,。运用和前面一样的分析逻辑，此时，可转债给债券持有人带来的收益为max(min(匕,CJ,n t S t)o
当t eC二时，债券持有人和发行人均不能执行任何期权，所以，可转债给债券持有人带来的收益为匕。
综上所述，在给定时刻t，可转债给债券持有人带来的收益可以表示为：
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v t t e[0,7；)
payoff,=.
max(min(V,,C(),n,S t)
max(min(V,,C(),n t S t,P t)t e：r2,r)
(1)
max(V,,%SJ t=T
2.二叉树定价的步骤
运用二叉树模型对可转债进行定价可以概括为以下三个步骤：第一，构建可转债标的股票的价格二叉树。假设在定价点标的股票的价格为S°，时间后，股票价格可能会上涨到S o u，也可能下跌到S o d，基于Cox等(1979)跑的框架，在风险中性的世界里，股票价格上涨的概率P，以及参数U和d分别可以表示为，
式(2)中r为无风险利率，。为标的股票价格的波动性。考虑到同一时间点上不同的可转债具有不同的剩
余时间，以及同一只可转债在不同的定价点也具有不同的剩余时间，为了避免债券的剩余时间不能被二叉树步长整除的情况，我们在后面定价过程中通过设定二叉树的步数而不是步长来构建股价二叉树进而对可
转债进行定价。比如，我们考虑一个剩余期限为丁的可转债，我们令二叉树的步数为N，则步长加=命。
第二个步骤就是要生成与股价二叉树对应的贴现率的二叉树。为了得到贴现率的二叉树，我们首先从债券到期日开始分析，对于债券到期日的每一个节点(对应二叉树的第N列的每一个节点)，分析各节点上是否有期权被执行，如果分析的节点上没有期权被执行，则该节点上使用的贴现率为与可转债具有相同信用级别的信用债券的贴现率；如果分析节点上有期权被执行，则该节点上使用无风险利率。其次，同一列上任意两个相邻节点之前一个节点的贴现率则为这两个相邻节点上贴现率的概率加权，这个概率分别为风险中性世界中股价上涨和下跌概率，P和1-P。依此类推，直到定价点为止，这样我们就得到与股价二叉树对应的贴现率的二叉树。
第三个步骤就是通过逆向倒推法计算并生成可转债价值的二叉树。具体而言，首先确定可转债到期时二叉树上各节点的价值；其次，通过逆向倒推法计算任意同一列上两个相邻节点之前一个节点的债券价值(V,)；最后，反复使用最优期权执行分析和逆向倒推法，直到得到定价点上可转债的价值为止，定价点上可转债的价值即为可转债的理论价格。
(二)
可转债二叉树定价的实证设计
1.步数的选择
前面已经提及，为了避免可转债的剩余时间不能被二叉树步长整除的情况，直接设定二叉树的步数而不是步长来对可转债进行定价。为了分析二叉树步数对定价偏差的影响，分别考察了步数为200步、400步、800步、1600步、3200步以及6400步六种情形下的定价结果。
2.波动率的估计和贴现率的选取
在构造可转债标的股价二叉树过程中，需要估计股价波动率。和现有的研究类似，我们采用定价点之前1年的股票日收益率数据来估计可转债标的股票价格的波动率少匈。
此外，在构造贴现率的二叉树模型中，需要用到无风险利率和与可转债具有相同信用级别的贴现率。具体而言，我们选择与定价点上可转债剩余期限相同的国债到期收益率作为无风险利率；选择与可转债剩余期限相同且信用等级相同的企业债券的到期收益率作为对应可转债的贴现率。这两方面的数据分别来自同花顺iFinD经济金融数据库中的中债国债到期收益率曲线和中债企业债到期收益率曲线。
3.可转债中各期权条款的处理
我国可转债中包含的赎回权、回售权均带有路径依赖的特。然而，在二叉树的定价过程中，我们难以考虑与赎回和回售权相关的路径依赖问题，所以我们将赎回权与回售权视为两个障碍期权来对待，进而将这些期权条款纳入二叉树模型，以便能够最大程度地降低定价误差。
第1期蒋崇辉，等基于二叉树模型的可转债定价：定价偏差的影响因素分析25
（三）样本选择
我们选择截止到2019年2月1日已上市交易满一年、且仍处在上市状态、并且在交易期限中不存在超过一年停牌现象的可转债进行定价实证分析。之所以按照这样的规则选择样本，主要是考虑到以下两个方面的原因：第一，上市未满一年的可转债价值易受到市场情绪等因素影响；第二，存在一年以上的停牌现象的可转债难以连续反映其价值变化。我们最终选择了49只可转债作为定价的样本债券，其中沪市19只，深市30只。
对于每一只样本债券，我们选择自债券上市日到2019年2月1日的每一个交易日作为定价的样本点，如此，本文一共考察了17196个定价样本点，各定价样本点上股票价格以及定价点之前1年股票日收益率数据均来自RESSET金融研究数据库。
（四）定价偏差的衡量
我们假设通过二叉树模型得到各样本定价点上的理论价格为匕，定价点上对应可转债收盘价为巴，则
我们定义定价偏差率Bias如下：
p-P
Bias=1—-X100%（3）
尸2
由式（3）可知，当Bias>0时，表明理论价格大于市场价格，此时市场价格相对于理论价格存在低估的现象；相反，当戲as<0时，表明理论价格小于市场价格，此时市场价格相对于理论价格存在高估的现象。
三、影响定价偏差率的因素分析
基于式（3）可转债定价偏差率的定义，凡是影响可转债理论价格和市场价格的因素均会对定价偏差率产生影响。前面已经提及，基于本文所采取的二叉树模型，二叉树模型的步数会影响可转债的理论价格，进而会影响定价偏差率。此外，我们还从影响可转债市场价格的角度，分析可转债的市场行情特征和投资风险特征两方面因素对市场价格进而定价偏差率的影响。
（一）可转债市场行情特征
通常而言，良好的市场行情会增加投资者对可转债的需求，在可转债数量一定的情况下，必然会推高可转债的市场价格，从而降低可转债的定价偏差率。相反，当可转债市场行情较差，投资者对可转债的需求将减少，导致可转债的市场价格下降，从而使定价偏差率上升。因此，可转债市场行情特征会对定价偏差率产生负向影响。
具体而言，可转债的市场行情既包括个债的市场行情也包括总体市场行情，很显然，可转债的市场价格既会受到总体市场行情的影响，更会受到个债市场行情的影响。为了同时考察这两方面行情特征对定价偏差率的影响，我们选择可转债的纯债溢价率（用Moneyness表示）来衡量个债的市场行情酗㉔。可转债的纯债溢价率是指可转债市场价格高于其纯债部分价值的比例，定义如下：
Moneyness=债券市价-纯债价值
纯债价值
⑷
由式（4）可知，当纯债溢价率较高时，表明可转债的市场价格较高或纯债价值在可转债的市场价格中占比较低，这表明该可转债的市场行情较好，而当纯债溢价率较低时，情况则相反，表明该可转债的市
场行情较差。根据前面的分析，变量Moneyness预期的回归系数符号为负。
其次，我们还选择可转债市场指数在过去一段时间内（过去30个交易日）的累计收益率（用Ridx）来衡量总体市场行情，定义如下：
Ridx=J7/_30（l+rj-1（5）二叉树公式
式（5）中，r，代表的是可转债指数过去第i个交易日的收益率。显然，过去一段时间内的累计收益率越高，表明可转债总体市场行情越好，反之，则行情越差。之所以选择过去一段时间内指数的累计收益率而不是定价点当天的指数收益率，是因为：（1）当天指数收益率和个债纯债溢价率会有较高相关性；（2）累计收益率能够更好地反映可转债市场变化的趋势。根据前面的分析，变量Ridx预期的回归系数符号也为负。