上课材料之二：
第二章  数学基础 (Mathematics)
第一节  矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)
第二节  分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance)
第三节数理统计（Mathematical Statistics）
第一节  矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)
2.1 矩阵的基本概念与运算
一个m×n矩阵可表示为：
矩阵的加法较为简单，若C=A+B，cij=aij+bij
但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A是一个m×n1的矩阵，B是一个n1×n的矩阵，则C=AB是一个m×n的矩阵，而且，一般来讲，AB≠BA，但如下运算是成立的：
●结合律（Associative Law）  (AB)C=A（BC）
●分配律（Distributive Law）  A(B+C)=AB+AC
问题：(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立？
向量（Vector）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row vector)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA=[αaij]。
矩阵的转置矩阵(transpose matrix)记为，是通过把的行向量变成相应的列向量而得到。
显然()′=，而且（+）′=+，
●乘积的转置（Transpose ofａ production ）  ，。
●可逆矩阵（inverse matrix），如果n级方阵(square matrix)A和B，满足AB=BA=I。则称A、B是可逆矩阵，显然，。如下结果是成立的：
。
2.2 特殊矩阵
1）恒等矩阵(identity matrix)identity matrix是什么意思
对角线上元素全为1，其余全为0，可记为I；
2）标量矩阵(scalar matrix)
即形如αI的矩阵，其中α是标量；
3）幂等矩阵(idempotent matrix)
如果矩阵具有性质，这样的矩阵称为幂等矩阵。
定理：幂等矩阵的特征根要么是1，要么是零。
4）正定矩阵（positive definite）和负定矩阵（negative definite），非负定矩阵(nonnegative　)　或　半正定矩阵（positive semi-definite ），非正定矩阵(nonpositive  definite)　或　半负定矩阵（negative semi-definite）；
对于任意的非零向量，如有＞0（＜0），则称A是正（负）定矩阵；如有≥0（≤0），非负（非正）定矩阵。如果A是非负定的，则记为A≥0；如果是正定的，则记为A＞0。协方差矩阵是半正定矩阵，几个结论：
a）恒等矩阵或单位矩阵是正定的；
b）如果是正定的，则也是正定的；
c）如果是正定的，是可逆矩阵，则是正定的；
d）如果是一个n×m矩阵，且n＞m，，则是正定的，是非负定矩阵。
5）对称矩阵（symmetric matrix）；
如果=′，则称为对称矩阵。
2.3 矩阵的迹（trace）
一个n×n矩阵的迹被定义为它的对角线上的元素之和，记为，则，如下结论是显然的。
1）    （是标量）  特例
2）
3）
4），特例
５）循环排列原则　tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC)
定理：实对称矩阵A的迹等于它的特征根之和。
因为A是实对称矩阵，故有在矩阵C，使得，其中，所以，。
2.4 矩阵的秩(rank)
一个矩阵A的行秩和列秩一定相等，一个矩阵的秩就可以定义为它的行秩或列秩，记为r(A)，不加证明，我们给出如下结果：
1）≤（行数、列数）
2）≤≤，其中A、B分别为m×n1、n1×n矩阵，特例：如果A、B为n×n矩阵，而且AB=0，则≤
3），其中是n×n的方阵
4）≤
5）设是n×n矩阵，且，则
6）设是n×n矩阵，且，则
2.5 统计量的矩阵表示