空间经济计量模型Bootstrap
检验的水平扭曲
龙志和1 欧变玲1 林光平2
(1 华南理工大学经济与贸易学院;
2 美国波特兰州立大学)
摘要本文使用回归残差的Boo tstrap方法，对线性模型空间相关性进行检验。基于空间相关性检验统计量Mo ran s I，在不同Bootstrap样本数及不同空间衔接结构下，研究并比较Bootstr ap和渐近检验方法。通过M onte Car lo实验揭示了当空间经济计量模型中残差不满足经典正态假定条件时，空间相关性的渐近检验理论不再有效。本文把Boo tstrap方法用于空间相关性检验，对水平扭曲进行了分析校正。研究同时发现，从水平扭曲角度来看，无论残差是否满足经典正态假定条件，空间经济计量模型Bootstrap检验通常都很有效。
关键词 水平扭曲 Bo otstrap检验 M oran s I指数
中图分类号 F224 0  文献标识码 A
Size Distortion of Bootstrap Tests for Spatial
Econometric Model
Abstract:In this paper,w e intr oduce the residual based bo otstrap m ethods for hy pothesis testing of spatial correlation in a linear reg ressio n mo del Based on Mor an s I test statistic for spatial cor relation,the size disto rtio n o f bootstr ap and asym ptotic tests are evaluated and com pared for different sample size and fo r vari o us str uctures of spatial co ntiguous w eig ht matr ix By considering the mo re realis tic heterog eneous non norm al distribution assumption,the applicability of the as y mpto tic test is invalid Instead,the residual based boo tstrap tests have dem onstra ted the superior ity in smaller size disto rtio n in comparison w ith asym ptotic tests Our ex tensiv e Mo nte Carlo simulatio n indicates that spatial boo tstrap test is an ef fective alternative to the theo retical asy mpto tic approach w hen the classical distri
引  言
近年来，空间经济计量已逐渐成为经济管理研究工具箱中重要的分析技术。然而，由于处理经济变量间相互作用关系的复杂性，空间经济计量模型中许多问题尚有待解决。在实际研究工作中，不论采用何种空间经济计量模型，都需要先对经济变量间是否存在空间相关性进行检验。这是空间经济计量模
型估计前不可缺少的重要环节。到目前为止，判断变量间空间相关性的方法主要有M oran s I检验、最大似然LM Err or检验，以及最大似然LM Lag 检验(Anselin,1988)。其中,M oran s I检验是最常用的检验方法。虽然Mor an s I检定不能确定空间相关的形式，但是两种LM检验可以弥补其不足。因限于篇幅，本文只讨论Mo ran s I的Boo tstrap检验，至于LM检验也可使用Bootstrap方法，其理相同。
基于线性回归模型y=X + 的OLS残差e,Mo ran s I的表达式为:
I=e'W e/e'e(1)其中,W为行标准化、对角为0的空间权重矩阵。当e服从正态独立同分布时,M oran s I渐近服从期望为E(I)和方差为V(I)的正态分布。E(I)和V(I)计算如下:
E(I)=tr(M W)/(N-K)
V(I)=tr(M WM W')+tr[(M W)2]+[tr(M W)]2
(N-K)(N-K+2)-[E(I)]
2
其中，矩阵M=I-X(X'X)-1X',N为样本量,K为自变量X的列数,tr(!)表示矩阵的迹，即对角线元素之和。进而，标准化的M oran s I统计量为:
Z=I-E(I)
V(I)
~N(0,1)(2)可见，回归残差服从正态独立同分布，是空间相关性检验统计量近似服从经典分布的必要前提∀。换言之，当回归残差不服从正态独立同分布时，采用基于Mo ran s I、LM Erro r 或LM Lag检验渐近理论的经典分布来判定空间相关性，其结果可能有偏。在大量实证研究工作中，残差通常分布未知或存在异方差，故常用的空间经济计量检验方法不再有效。实际经济研究中，忽视残差是否服从正态独立同分布，是造成许多空间经济计量模型估计结果有偏的原因之一。
当残差分布未知或存在异方差时，如何进行空间相关性检验，是空间经济分析有待解决的难题。Kelejian和Prucha(2001)探讨了残差独立同分布条件下，空间相关性检验统计量Mo ran s I的渐近分布。林光平、龙志和、吴梅(2007)采用Bo otstrap方法构造M oran s I 等检验统计量，进行残差分布未知或存在异方差条件下变量空间相关性的判定，为解决这一难题提供了一条可选择的路径。本研究在此基础上，利用M onte Carlo实验，研究Bo ot strap检验水平扭曲的有限样本性质，以期从仿真视角为空间经济计量模型Bootstr ap检验的可行性提供理论依据。
本文基于M oran s I检验统计量，论述空间经济计量模型Bootstrap检验的水平扭曲，其结构安排如下：第一部分，阐述空间经济计量模型Boo tstrap检验的主要思想；第二部分，给出空间经济计量模型
Bo otstrap检验水平扭曲的研究思路；第三部分，设计M onte
Car lo 实验参数和方案，研究空间计量模型Bo otstrap 检验的水平扭曲，并报告、分析主要实验结果；第四部分为结论。
一、空间经济计量模型Bootstrap 检验
Boo tstrap 方法是Efro n (1979)在归纳前人研究成果的基础上，提出的根据给定的原始样本复制观测信息，不需要进行分布假设或增加新的样本信息，对总体的分布特性进行统计推断的一种非参数统计方法。20世纪80年代以来,Bo otstrap 方法在医学、军事、金融、经济学等领域得到广泛发展(M acKinnon,2002;Davison 等,2003)。
鉴于Bootstrap 方法具有无需提供观测数据分布形式的优点以及Bootstr ap 方法在经济计量领域的相关研究(Davidson 和MacKinno n,1999、2006;Chang,2004;Park,2003;H all,1992)，本文考虑用Bootstrap 方法解决空间计量模型检验难题。
所谓空间经济计量模型Bootstrap 检验，就是把基于残差的Bo otstrap 方法、对称W ild Boo tstrap 方法和非对称Wild Boo tstrap 方法、可保留观测数据空间特性的Bootstr ap 方法用于空间经济计量模型的空间相关性检验。执行空间经济计量模型Boo tstrap 检验是计算空间经济计量模型Bootstrap 检验水平(Size)及功效(Pow er)的关键。
空间经济计量模型Bootstrap 检验的主要思想和步骤如下:
(1)基于第i 个M onte Carlo 实验样本 i (i =1,%,M )，或观测数据集(y ,X )，采用OLS 方法估计普通线性模型y =X  + ，得到参数估计量 &和残差向量e =y -X  &，根据式(1)、式(2)计算标准化的Mo ran  s I 统计量Z &。
(2)对残差向量e 进行如下尺度变化和中心化:
e ~k =N N -1e k 1-h 2k -1N ∋N l =1e l 1-h 2l
k =1,2,%,N (3)其中,h k 是矩阵M =I N -X (X 'X )
-1X '对角线上的第k 个数。(3)对向量e ~
进行Boo tstrap 抽样。考虑到数据的空间特性，保持原始样本(y ,X )的排列顺序不变，对向量e ~
进行N 次有放回地随机抽样，得到一个Bootstr ap 样本e &，其中向量
e &是向量e ~各元素的一个可重复随机排列组合。虽然向量e ~的每个元素被抽到的概率相等，均为1/N，但有些元素可能被抽到多次，有些元素可能从未被抽取。
bootstrap检验方法
记 &
为空间相关性检验中的一个Boo tstrap 样本，则:
当 &=e &时，空间经济计量模型Bootstrap 检验是残差Bootstrap 检验。它适用于分布未知、不存在异方差的误差。
当 k &=e k &!v k (k =1,%,N)时，空间经济计量模型Boo tstrap 检验是残差Wild Bo ot  strap 检验。它适于处理存在异方差的误差(Liu,1988;Dav idso n 等,2007)。其中，随机变量v k 有两种形式:
其一:(4)
与式(4)和(5)的v k 对应的残差Wild Bo otstrap 检验分别是对称Wild Bo otstrap 检验和非对称W ild Bo otstrap 检验。其中，式(4)表示随机变量v k 等于-1和1的概率相等，均为1/2；式(5)表示随机变量v k 等于-(5-1)/2和(5+1)/2的概率分别为(5+1)/(25)和(5-1)/(25)。
(4)由上可得Bootstrap 样本 *i 及其数据集(y ~
,X )。采用OLS 方法估计普通线性回归模型，得到参数估计量 *&和残差向量e *
=y ~
-X  *&，其中y ~=X  &+ &；然后，基于向量e *，利用式(1)、式(2)计算Boo tstrap 统计量Z *&。
(5)对向量e ~进行反复放回随机抽样，重复步骤(3)和(4)B 次，计算大量的标准化Mo ran  s I 统计量，可得到空间相关性检验统计量M oran  s I 的经验分布。在第i 个M onte
Car lo 实验中，利用原始样本(y,X )得到标准化的M oran  s I 统计量Z i &，利用B 个Bo ot  strap 样本得到B 个Boo tstrap 统计量:Z *i,1&,Z *i,2&,%,Z
*i,B &。其中,B =99,199,%,999∀。
当残差分布未知或存在异方差时，可以按照以上步骤实现空间经济计量模型Bootstr ap
检验，得到空间相关性统计量Z i &和Z *i,1&,Z *i,2&,%,Z *i,B &(i =1,%,M )，以期对空间相关性
进行有效检验。为了准确模拟Boo tstrap 统计量，这里我们使用M =5000。
二、空间经济计量模型Bootstrap 检验的水平扭曲
在空间相关性检验中，当变量间不存在空间相关性时，可能会错误地认为存在空间相关性，也就是统计学所称的第一类错误，即当原假设为真时，拒绝原假设，从而错误地拒绝原假设的概率(Reject Pro bability)，也就是检验的实际显著性水平(Size o f T est)。通常，在给定名义显著性水平下，比如5%和10%，实际显著性水平越接近名义显著性水平，表明假设检验结果越可信。也就是说，当变量间不存在空间相关性时，空间经济计量模型Bo ot  strap 检验水平与名义显著性水平之差(水平扭曲)的绝对值越小，结果越可信。故此，本文以空间经济计量模型Bootstrap 检验的水平扭曲为标准，研究变量间不存在空间相关时，空间经济计量模型Bootstrap 检验的有效性。
本节将首先介绍空间经济计量模型Bootstrap 检验的P 值(P  value)，然后给出空间经济计量模型Boo tstrap 检验水平扭曲的计算方法。
1 空间经济计量模型Bootstrap 检验的P 值
空间经济计量模型Bootstrap 检验的P 值，也就是空间经济计量模型Bootstrap 检验接受原假设的概率。它是计算空间经济计量模型Bo otstrap 检验水平扭曲不可缺少的关键环节。
在双边假设检验情况下，根据检验统计量关于原点对称与否，可把Boo tstrap 值分为对称Bo otstrap 值
(Sy mmetric Bo otstrap Value)和等尾Bootstr ap 值(Equal  tail Bootstr ap Value)。在空间经济计量模型中，空间相关关系包括正相关和负相关，即空间相关性检验是
双边检验，并且空间相关性检验统计量M oran  s I 通常不关于原点对称，故基于等尾Bo ot  strap 值，可得空间经济计量模型Bootstrap 检验的P 值为:
P *(Z i &)=2min [1B ∋B j =1I (Z *i,j &(Z i &),1B ∋B j =1
I (Z *i,j &>Z i &)](6)其中,Z i &和Z *i,j &(i =1,%,M;j =1,%,B )分别是利用第i 个M onte Car lo 实验样
本
i 和第j 个Bo otstrap 样本 *i,j ，求得的空间相关性检验统计量。I (!)是指示函数，当空间相关性检验统计量Z *i,j &)Z i &为真时,I 取1；否则,I 取0。P *(Z i &)就是利用第i 个Mo nte Carlo 实验样本及其B 个Boo tstrap 样本，得到的空间计量模型Bootstr ap 检验的P 值。
按照式(6)可求得空间经济计量模型Bo otstrap 检验的P 值，研究空间相关性是否为小概率事件。进而，求解空间经济计量模型Bootstr ap 检验的水平扭曲及功效。
2 空间经济计量模型Bootstrap 检验的水平扭曲
如何判断空间经济计量模型Bootstrap 检验的有效性?下面从水平扭曲角度研究空间经济计量模型Boo tstrap 检验的有效性。所谓空间计量模型Bootstrap 检验的水平扭曲，是指空间经济计量模型Bootstrap 检验的实际拒绝概率与名义显著性水平之差，数值越小表示假设检验结果越可信，其计算主要涉及空间经济计量模型Bootstrap 检验的P 值和实际拒绝概率。其中，空间经济计量模型Boo tstrap 检验的实际拒绝概率的计算思路如下。
首先，根据空间经济计量模型Bootstrap 检验的P 值与名义显著性水平的关系可判断是否接受原假设，即当P *(Z i &)<!时，拒绝原假设，认为变量间存在空间相关性；否则，接受原假设，认为变量间不存在空间相关性。然而，基于P *(Z i &)和!关系错误地拒绝原假设的概率有多大?本研究将用模拟方法来解答这个问题。根据统计学理论，在给定名义显著性水平!下，空间经济计量模型Bootstrap 检验的实际拒绝概率(或实际显著性水平)为:
RP 1=1M ∋M i =1
I [P *(Z i &)<!](7)其中，通常!=5%。I (!)是指示函数，当P *(Z i &)<!为真时，拒绝原假设,I 取
1；否则，接受原假设,I 取0。其他参数定义同上。换句话说，空间经济计量模型Bo ot  strap 检验的实际显著性水平R P 1就是：变量间不存在空间相关性时，认为存在空间相关性，错误地拒绝原假设的概率。
然后，基于空间经济计量模型Bootstrap 检验的实际显著性水平和水平扭曲的定义，可得空间经济计量模型Boo tstrap 检验的水平扭曲:
SD =RP 1-!(8)
按以上步骤可计算空间经济计量模型Bootstrap 检验的水平扭曲，进而与空间经济计量模型渐近检验的水平扭曲∀比较，判断Bootstr ap 检验的水平扭曲是否小于渐近检验，从水平扭曲角度研究空间经济计量模型Bootstrap 检验的有效性。
三、Monte Carlo 实验
空间经济计量模型Bootstrap 检验是Mo nte Car lo 实验的重要环节，通过Mo nte Car lo