习 题 1-1 1．计算下列极限 xaa xlima 0;（1）, x ax axaaaa ax axa lim[ ](a)| (x)|解：原式= x ax ax ax ax aaa 1aa(lna 1)alna a a== sinx sinalim（2）； sin(x a)x asinx sina (sinx)' cosa lim解：原式 x ax ax a1 2nlimn(a 2), a 0;（3） nan n1a 1 x222 [(a)'] lim() lna解：原式 n1/nx 0an 1plimn[(1 ) 1]p 0;（4）， nn 1pp(1 ) 1 n p 1p px p lim (x)| 解：原式 x 11x 1n n 1010(1 tanx) (1 sinx)lim;（5） sinxx 01010(1 tanx)(1 sinx) 1 1 lim lim解：原式 tanx sinxx 0x 09910(1 t)| 10(1 t)| 20= t 0t 0 mx 1limm,n（6） ，为正整数； nx 1x 1 1m(x)' mnx 1x 1x 1 lim 解：原式 1nmx 1x 1x 1n(x)'x 1f(x h) 2f(x) f(x h)000xlimf(x)2．设在处二阶可导，计算. 02hh 0 f(x h) f(x h)f(x h) f(x) f(x) f(x h)000000 lim lim解：原式 2h2hh 0h 0 f(x h) f(x)f(x h) f(x)110000 lim lim f(x) f(x) f(x) 000222h 2hh 0h 0 1 / 27
1f(x) a 0 lnx lnalim[]f(a) 0f(a)3．设，，存在，计算. f(a)x alnf(x) lnf(a)1f(x) lnx lna limelnx lnalim[]解： x af(a)x alnf(x) lnf(a)lnf(x) lnf(a)x alimlim lnx lna ex a x ax alnx lna e f'(a)a f(a) e33xxkk 习 题 1-2 1.求下列极限 lim(sinx 1 sinx 1)（1）; x 1 limcos [(x 1) (x 1)] 0x 1 x 1解：原式 ，其中在与之间 2x cos(sinx) cosxlim（2）; 4sinxx 0 sin(sinx x)1sinsinx xx lim lim() ()()sinx解：原式===，其中在与之间 43x6 xxx 0x 0 666565lim(x x x x);（3） x 11
511111 666 limx[(1 ) (1 )] limx (1 ) [(1 ) (1 )]解：原式 xx6xxx x 51111 6 1 lim(1 ) ，其中在与之间 1 x33xx 112limn(arctan arctan);（4） n 1nn 111112 limn( ) 解：原式与之间 1，其中其中在 2n 1 1 nn 1nn n1 f(a )n limaf(x)f(a) 02．设在处可导，，计算. 1)f(a n n 1111n(lnf(a ) lnf(a ))limn(lnf(a ) lnf(a )) nnnn lime en 解：原式 n 11) lnf(a)lnf(a ) lnf(a)lnf(a nn f(a)f(a)2f(a)[lim] lim 11 n n f(a)f(a)f(a) e enn e 习 题 1-3 1．求下列极限 (1 x) 1 lim 0;（1）, (1 x) 1x 0 2 / 27
x lim 解：原式 xx 01 cosxcos2x cosnxlim（2）; 2x 01 x 1lncosx lncos2x lncosnx lncosxcos2x cosnx 2limI lim解： 21xx 0x 02x 2222nx (2x) (nx)cosx 1 cos2x 1 cosnx 12 2lim lim i 22xxx 0x 0i 111 lim（)（3）; xxe 1x 0xxxe 1 xe 1 xe 1x1 lim lim lim lim解：原式 x22x2x(e 1)x2xx 0x 0x 0x 011 2xxlimx[(1 x) x]（4）; x 1111ln(1 x)lnx 22xx limx(e e) limx (ln(1 x) lnx) limxln(1 )解：原式 xxx x x 1 limx 1 xx 2. 求下列极限 1 cosx lncosxlim（1）; 22x x2x 0e sinx e1122x x 22 1 lim 解：原式 222x xx 0xln(x e) 2sinxlim（2）; sin(2tan2x) sin(tan2x) tanxx 0xxln(1 x e 1) 2sinxx e 1 2sinx lim lim解：原式 sin(2tan2x) sin(tan2x) tanxsin(2tan2x) sin(tan2x) tanxx 0x 0x x 2x 4 lim 4x 2x xx 0习 题 1-4 1．求下列极限 12limn(1 nsin)
（1）； nn 1111112 limn[1 n( o())] lim( o(1)) 解：原式 33n3!nn3!6n n 3 / 27
3x3e 1 xlim（2）求； 6sinxx 06x363x o(x) x3x3 e 1 x12 lim lim 解：原式 66xx2x 0x 012lim[x xln(1 )]（3）； xx 11112 lim[x x( o())]解：原式 22x2xx2x 12x xlim(1 )e（4）； xx 112) x][xln(1 x2 lime e解：原式 x x 0h 0 f(x)f(0) 0f(0) 0af(h) bf(2h) f(0)此题已换3．设在处可导，，.若在ha,b时是比高阶的无穷小，试确定的值. f(h) f(0) f(0)h o(h)f(2h) f(0) 2f(0)h o(h)解：因为 ， af(h) bf(2h) 2f(0)(a b 1)f(0) (a 2b)f(0) o(h)0 lim lim所以 hhh 0h 0a b 1 0a 2b 0a 2,b 1从而 解得： f(x h) 2f(x) f(x h)000xlimf(x)3．设在处二阶可导，用泰勒公式求 02hh 0解：原式 f''(x)f''(x)222200f(x) f'(x)h h o(h) 2f(x) f(x) f'(x)h h o(h) 00100022!2! lim 2hh 0222f''(x)h o(h) o(h)012 f''(x) lim 02hh 0sinxf(x)1 f(x)x 0 lim( ) 2.limf(x)f(0),f(0)4. 设在处可导，且求和. 2xxxx 0x 0sinxf(x)sinx xf(x)2 lim( ) lim 解 因为 22xxxx 0x 0 2 x o(x) xf(0) f(0)x o(x) lim 2xx 022 (1 f(0))x f(0)x o(x) lim 2xx 0 1 f(0) 0,f(0) 2f(0) 1,f(0) 2所以 ,即 4 / 27
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