2023年高考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是(  )
A 3
B ．2
C ．3
D ．3
2．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（    ）3 d
A ．1y x =+
B ．21y x =-
C ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．2log y x =
3．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（    ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（    ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2π
5．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（  ）
A ．45
B ．45-
C ．45±
D ．35
6．已知双曲线22
221x y a b -=（0a ＞，0b >）的左、右焦点分别为E F ，，以OF （O 为坐标原点）为直径的圆C 交
双曲线于A
B 、两点，若直线AE 与圆
C 相切，则该双曲线的离心率为（    ） A ．236+ B ．226
+ C ．3226+ D ．3262
7．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且
||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （    ） A ．32 B ．12 C ．34 D ．74 8．函数()3
sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（    ） A ． B ． C ． D ．
9．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（    ）
A ．2
B ．9
8 C ．1 D ．78
10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，
sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（    ）
A ．37
B ．21
7 C ．2112 D ．5719
11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间
内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．
其中正确的个数为（  ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，
则（    ） A ．max 372a c
+-= B ．max 372a c -+=
C ．min 372a c +-=
D ．min 372a c -+= 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知i 为虚数单位，复数11i z =
+，则z ＝_______．
14．已知函数
()2e (e)ln e x
f x f x '=-，则函数()f x 的极大值为 ___________． 15．函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2x x a x a f x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩，若函数()f x 在
[)0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________.
16．命题“对任意1x >，21x >”的否定是        ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率
分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，其中μ近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.
（1）请利用正态分布的知识求(3679.5)P Z <≤；
（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费：
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
获赠的随机话费（单位：元） 10 20 概率 2
3 13
市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？ 附：①21014.5≈；②若()
2~,X N μσ；则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973
P X μσμσ-<<+=. 18．（12分）如图，直三棱柱
111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG .
（1）求线段AG 的长；
（2）求二面角B MG N --的余弦值.
19．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．
（1）证明：AP ∥平面EBD ；
（2）证明：BE ⊥PC ．
20．（12分）已知()()0f x a x b a =-->，且()0f x ≥的解集为{}37x x -≤≤.
（1）求实数a ，b 的值；
（2）若()f x 的图像与直线0x =及()3y m m =<；围成的四边形的面积不小于14，求实数m 取值范围.
21．（12分）已知函数231()cos ,()22x f x x x R =
+-∈.
（1）当[0,]x π∈时，求函数的值域；
（2）ABC 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c
且c =
()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值. 22．（10分）已知函数()()()
f x x a lnx a -∈R ＝，它的导函数为()f x '． （1）当1a ＝时，求()f x '的零点；
（2）当0a ＝时，证明：()1
x f x e cosx +-＜．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先根据已知求出原△ABC 的高为AO
，再求原△ABC 的面积.
【详解】
由题图可知原△ABC 的高为AO
∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝1
2×
A
【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
2、C
【解析】
利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间
()0,∞+上的单调性，进而可得出结果. 【详解】
对于A
选项，函数y =()0,∞+上为增函数；
对于B 选项，函数
21y x =-在区间()0,∞+上为增函数； 对于C 选项，函数
12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.
3、D