专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）
【模型解读】
在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
同侧型一线三等角（常见）：
锐角一线三等角            直角一线三等角（“K 型图”）          钝角一线三等角
条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE
证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V
异侧型一线三等角：
锐角一线三等角                  直角一线三等角                  钝角一线三等角
条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等
证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V
1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过
点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．
(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．
3 d【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2
(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=
【分析】（1）先根据得出90452
ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，
即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；
（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；
②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；
（3）在Rt △AEC 中，根据勾股定理求出5AC ==，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF
=，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．
(1)解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴90452
ABC ACB ︒∠=∠==︒， ∵l BC ∥，∴45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，
∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，
∴904545ABD ∠=︒−︒=︒，904545ACE ∠=−=︒︒︒，
∴45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，
∴sin 12
AD BD AB DAB ==⨯∠==，
sin 12
AE CE AC EAC ==⨯∠==，∴2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，
∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，
∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，
∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，
∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；
②BD =CE +DE ，理由如下：
∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，
∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，
∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，
∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．
(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE =+=+=，
在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC ==，
∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴
AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， ∴155544CF AC AF =−=−=，∵AB =AC =5，∴1152552248
BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ， CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE
是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析
【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出
DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；
（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=F A，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠F AE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．
【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．
又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-α．∴∠DBA=∠CAE．
∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．
∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）△DEF为等边三角形．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠F AE．
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：
①如图1，ABC V 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED V ≌_______； ②如图2，ABC V 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE V ≌________； ③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．
【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的
坐标为(，则点C 的坐标为________．
【模型变式】（3）如图5所示，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．