三重积分的各种计算方法
计算：  ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，
，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数  () f x y z ，
， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标
(  )F z d d dz ρρθρθΩ
⎰⎰⎰
，，(
)
2
s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ
⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。        —— 重积分的换元积分法
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三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：
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1. 如果先做定积分2
1
() z z f x y z dz ⎰，
，，再做二重积分(,)xy
D F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：Ω及在xoy 面投影区域D 。过D 上一点()    x y ，“穿线”确定z 的积分限，
完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，
即
()
()
21,,(,,)[(,,)]
xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
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2. 如果先做二重积分⎰⎰z
D d z y x f σ),,(再做定积分⎰2
1
)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二
后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2  z c =之间，即12[,]
z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分⎰⎰z
D d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）
；进而计算定积分⎰2
1)(c c dz z F ，
完成“后一”这一步，即
2
1
(,,)[(,
,)]z
c c D f x y z dxdydz f x y z
d dz σΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 当被积函数()f z 仅为z 的函数（与    x y ，无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截
面法”尤为方便。
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为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系下进行计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)：
(1) D 是    X 型或
Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）；
(2) D 是圆域（或其部分），且被积函数形如22    ()( )y
f x y f x
+，时，可选择柱面坐标系计
算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；
(3) Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(2
22z y x f ++时，可选择球面坐标系计算。
以上是一般常见的三重积分的计算方法，对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情 形不赘述。
三重积分的计算方法小结：
1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数
()  f x y z ，，的情况选取。一般地，
投影法（先一后二）： 较直观易掌握；
截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，
故较难一些。
特殊地，对z D 积分时，(),,f x y z 与
,
  x y 无关，可直接计算z D S 。因而Ω中只要
[] z a b ∈，, 且(),,f x y z 仅含z 时，选取“截面法”更佳。 2. 对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面
所围成的形体；被积函数为仅含z 或22
(
)z f x y +时，可考虑用柱坐标计算。
三重积分的计算方法例题：
补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω
=zdxdydz I
，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面000
x y z ===，，围成的闭区域。
解法一：“投影法”
1.  画出Ω及在xoy 面投影域D 。
2. “穿线”y x z −−≤≤10
X 型  D ：x
y x −≤≤≤≤101
∴Ω：y x z x y x −−≤≤−≤≤≤≤10101
3. 计算 .I zdxdydz Ω
=
⎰⎰⎰
1110
x y
x I zdxdydz dx dy
zdz −−−Ω
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
120
1
(1)2
x
dx x y dy −=−−⎰⎰
1
22310011[(1)(1)]23
x x y x y y dx −=−−−+⎰ 24
1]4123[61)1(611041
0323=−+−=−=⎰x x x x dx x
解法二：“截面法”
1.  画出Ω。
2.  [01]  z ∈，
过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。  z D 是两直角边为 x y ，的直角三角形，    11x z y z =−=−，
3.  计算1
[]z
D I zdxdydz zdxdy dz Ω
=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
1
[]z
z
D D z dxdy dz zS
dz =
=⎰⎰⎰⎰
11
00
11()(1)(1)22z xy dz z z z dz ==−−⎰⎰ 1
23
011(2)224
z z z dz =−+=⎰ 补例2： 计算
22x y dxdydz +⎰⎰⎰
，  其中Ω是222z y x =+和1z =围成的闭区域。
解法一：“投影法”
1.  画出Ω及在xoy 面的投影区域D.  由22
21
z x y z ⎧=+⎪
⎨=⎪⎩消去z ，
得122=+y x  即D ：122≤+y x  2. “穿线”122≤≤+z y x ，
X 型  D ：⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−≤≤−2
3 d
2111
1x y x x    ∴  ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤≤+−≤≤−−≤≤−Ω11111:2222z y x x y x x
3.  计算
22x y dxdydz Ω
+⎰⎰⎰
解：
22x y dxdydz Ω
+⎰⎰⎰
2
2
2
1
11
221
1x
x
x y dx
dy
x y dz −−−−+=
+⎰⎰
⎰
2
2
1
122221
1(1)x x dx
x y x y dy −−−−=
+−+⎰⎰
6
π
=
（注：可用柱坐标计算。）
解法二：“截面法”
1. 画出Ω。  ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z z r π
θ
2. ]1,0[∈z  过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+
z D ： ⎩⎨⎧≤≤≤≤z
r 020πθ
下面用柱坐标计算积分结果
3.  计算：
1
22220
[]z
D x y dxdydz x y dxdy dz Ω
+=+⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
1
220
[]z
d r dr dz π
θ=⎰⎰⎰
11
3300
122[]33z
r dz z dz ππ==⎰⎰
6
π
=
补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω
=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω是由222x 2z 2−=+=及y x z 所围成
的闭区域。
解：使用“投影法”
1. 画出Ω及在xoy 面上的投影区域D.
由 22
2
22z x y z x
⎧=+⎪⎨=−⎪⎩消去z ，得122=+y x
即  D ：122≤+y x    2. “穿线” 22222x z y x −≤≤+
X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−≤≤−2
2111
1x
y x x  Ω：22222111122x x y x x y z x −≤≤⎧⎪⎪
−−≤≤−⎨⎪
⎪+≤≤−⎩