2021年中考学霸必刷压轴题几何最值第三讲阿氏圆问题中考
真题试题解析
一．填空题（共2小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则
PD−1
2PC的最大值为．
二．解答题（共1小题）
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、P A，当点P运动到某一位
置时，PC+1
2P A的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2021阿氏
参考答案与试题解析
一．填空题（共2小题）
1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，以点C 为圆心，6为半径的圆上
有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD +3BD 的最小值是 12√10 ．
【专题】推理填空题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【解答】解：如图，在CA 上截取CM ，使CM ＝4，连接DM ，BM ，
∵CD ＝6，CM ＝4，CA ＝9，
∴CD 2＝CM •CA ，
∴CD CM =CA CD ，
∵∠DCM ＝∠ACD ，
∴△DCM ∽△ACD ，
∴DM AD =CD AC =23， ∴DM =23AD ，
∴23AD +BD ＝DM +BD ， ∵DM +BD ≥BM ，
在Rt △CBM 中，∵∠CMB ＝90°，CM ＝4，BC ＝12，
∴BM =√CM 2+BC 2=4√10，
∴23
AD +BD ≥4√10， ∴23AD +BD 的最小值为4√10，
∴2AD +3BD 的最小值是12√10．
故答案为：12√10．
2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则
PD −12
PC 的最大值为 5 ．
【专题】几何图形．
【解答】解：在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，如图，
∵
PB BG =21=2，BC PB =42=2， ∴PB BG =BC PB
， ∵∠PBG ＝∠PBC ，
∴△PBG ∽△CBP ，
∴PG PC =BG PB =12， ∴PG =12PC ，
当点P 在DG 的延长线上时，PD −12PC 的值最大，最大值为DG =√42+32=5． 故答案为：5
二．解答题（共1小题）
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，抛物
线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为B ．
（1）求抛物线解析式及B 点坐标；
（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接MA 、MB 、BC ，当点M 运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积；
（3）如图2，若P 点是半径为2的⊙B 上一动点，连接PC 、P A ，当点P 运动到某一位置时，PC +12P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
33岁学霸第12次高考
【专题】代数几何综合题；数形结合；转化思想；构造法；面积法；一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；图形的相似．
【解答】解：（1）直线y ＝﹣5x +5，x ＝0时，y ＝5
∴C （0，5）
y ＝﹣5x +5＝0时，解得：x ＝1
∴A （1，0）
∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A ，C 两点
∴{1+b +c =00+0+c =5  解得：{b =−6c =5
∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5
当y ＝x 2﹣6x +5＝0时，解得：x 1＝1，x 2＝5
∴B （5，0）
（2）如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于点H
∵A （1，0），B （5，0），C （0，5）
∴AB ＝5﹣1＝4，OC ＝5