第12讲 归纳法（解析版）
—高中物理解题方法28法20讲
江苏省特级教师 学科网特约金牌名师 戴儒京
著名物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁教授在谈到他从中国到美国留学时说：在中国学了推演法，就是学了第一定律、第二定律等，然后用这些定律解题，从一般到特殊；在美国学习了归纳法，就是从实验总结规律，从特殊到一般。杨振宁教授的这番话，告诉我们中美学习物理的方法之不同。
    在我们物理学的茫茫题海中，大部分是用推演法（即演绎法）去解的，但也有少数用归纳法解的题目。
1.什么叫归纳法？归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。它通过许多个别的事例，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。归纳法可以先举事例再归纳结论，即我们通常所说之归纳法，归纳法是从个别性知识，引出一般性知识的推理，是由已知真的前提，引出可能真的结论。它把特性或关系归结到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型；或公
式表达基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察的规律。
2.归纳法是物理学研究方法之一。通过样本信息来推断总体信息的技术。要做出正确的归纳，就要从总体中选出的样本，这个样本必须足够大而且具有代表性。
3.归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。归纳推理也可称为归纳方法.完全归纳推理，也叫完全归纳法.不完全归纳推理，也叫不完全归纳法。
4.归纳法在解物理题中的应用：物理过程与序数n有关的情况，n的个数较多，可考虑用归纳法解题。
5.用归纳法解物理题的解题程序：首先分析物理过程，出物理过程适用的物理规律，例如用动量守恒定律或动能定理，根据物理规律写出方程式，求解出第1个物理过程的解，例如v1、s1等，然后根据第2、3个物理过程的结果（如v2、v3或s2、s3等）出其中的规律性，列出递推公式（如vn、sn等与v1、s1及n的关系式），最后根据递推公式求解未知量，如求n或求总路程。
例1．回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动
了现代科学技术的发展。
（1）回旋加速器的原理如图，D1和D2是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D1圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D1、D2置于盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中。若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P，求输出时质子束的等效电流I与P、  B、R、f的关系式（忽略质子在电场中的运动时间，其最大速度远小于光速）。
（2）试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r是装置大、减小还是不变？
【解析】（1）设质子质量为m，电荷量为q，质子离子加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律知
        ③
质子运动的回旋周期为
        ④
由回旋加速器工作原理可知，交流电源的频率与质子回旋频率相同，由周期T与频率f的关系得
        ⑤
设在t时间内离开加速器的质子数为N，则质子束从回旋加速器输出时的平均功率
        ⑥
输出时质子的等效电流
        ⑦
由上述各式得
        ⑧
（2）方法一
设为同一盒中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为、，在相应轨道上质子对应的速度大小分别为、D1、D2之间的电压为U，由动能定理知
    ⑨
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，
知，则
整理得    ⑩
因U、q、m、B均为定值，令由上式得
相邻轨道半径、之差
同理
因为，比较、得
<                               
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小。
方法二：
设为同一盒中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为rk、
，，在相应轨道上质子对应的速度大小分别为、，D1、D2之间的电压为U。
由洛化兹力充当质子做圆周运动的向心力，知，故
           
由动能定理知，质子每加速一次，其动能增量
             
以质子在D2盒中运动为例，第k次进入D2时，被电场加速次，速度大小为
       
同理，质子第次进入D2时，速度大小为
综合上述各式得
整理得
同理，对于相邻轨道半径、，，整理后有
由于，比较、得
<                               
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小。用同样的方法也可得到质子在D1盒中运动时具有相同的结论。
例2.如图所示，足够长的木板质量M=10㎏，放置于光滑水平地面上，以初速度沿水平地面向右匀速运动。现有足够多的小铁块，它们的质量均为m=1㎏,在木板上方有一固定挡板，当木板运动到其最右端位于挡板正下方时，将一小铁块无初速地放在木板上，小铁块与木板的上表面的动摩擦因数，当木板运动了L=1m时，又无初速地贴着挡板在第1个小铁块上放上第2个小铁块，只要木板运动了L就按同样的方式再放置1个小铁块，直到木板停止运动，（取）试问
33岁学霸第12次高考
（1）第1个小铁块放上后，木板运动了L时，木板的速度多大？
（2）最终木板上有多少个小铁块?
（3）最后一个铁块放上后，木板再向右运动的距离是多少？
【解析】（1），
（2），
；
，
，
列出已求出的速度与铁块数的关系表
铁块
1
2
3
4
速度
出规律：根下的数字每次减小的数比上一次多1，所以可得出下表
铁块
1
2
3
4
5
6
7
8
速度
？
往后应该减去7，但4<7, 所以不能再放小铁块，则最终木板上有7个小铁块。
（3），
最后一个铁块放上后，木板再向右运动的距离是：
点评：从速度、、…归纳出规律：根下的数字每次减小的数比上一次多1，然后求解。
解法2.(1)第1个铁块放上后至第2个铁块放上前，根据动能定理，                ①
所以
（2）第2个铁块放上后至第3个铁块放上前，
              ②
第3个铁块放上后至第3个铁块放上前，
              ③
……
第n个铁块放上后至第n+1个铁块放上前，