第一讲    有 理 数
一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：
1、善于观察数字特征；
2、灵活运用运算法则；
3、掌握常用运算技
巧（凑整法、分拆法等）。
三、例题示范
1、数轴与大小
例1、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？
例
2、
将这四个数按由小到大的顺序，用“”连结起来。提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；
提示2：先考虑其相反数的大小顺序；
提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。试确定三个数的大小关系。
分析：由点B在A右边，知b-a0，而A、B都在原点左边，故ab0，又c10，故要比较的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、在有理数a与b(ba)之间出无数个有理数。
提示：P=（n为大于是的自然数）
注：P的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号
在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0
注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧
例6、计算  123 (200020012002)
提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)项数2。
例7、计算 1+234+5+678+9+…2000+2001+2002
提示：仿例5，造零。结论：2003。
例8、计算
提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n 1。
例9、计算
提示：字母代数，整体化：令，则
例10、计算
（1）；（2）
提示：裂项相消。
常用裂项关系式：
（1）；（2）；
（3）；（4）。
例11 计算（n为自然数）
例12、计算 1+2+22+23+…+22000
提示：1、裂项相消：2n=2n+12n；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…
+22000，则S=2SS=220011。
例13、比较与2的大小。
提示：错项相减：计算。
第二讲  绝 对 值
1、知识要点
1、绝对值的代数意义；
2、绝对值的几何意义：（1）|a|、（2）|a-b|；
3、绝对值的性质：
（1）|-a|=|a|,  |a|0 ,  |a|a；（2）|a|2=|a2|=a2；
（3）|ab|=|a||b|；（4）（b0）；
4、绝对值方程：
（1）最简单的绝对值方程|x|=a的解：
（2）解题方法：换元法，分类讨论法。
二、绝对值问题解题关键：
（1）去掉绝对值符号；（2）运用性质；（3）分类讨论。
三、例题示范
3(2x一4) 9解方程例1  已知a0，化简|2a-|a||。
提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。
例2  已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b=        ，满足条件的a有几个？
例3  已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-
b|+|b|+|-2a|。
例4  已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc0，求的值。
注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。
例5 已知：
例6  已知，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。
例7  已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。
提示：1、根轴法；2、几何法。
例8  是否存在数x，使|x+3|-|x-2|7。
提示：1、根轴法；2、几何法。
例9  m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。
提示：结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。
结论：最小值为8。
例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，
且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于
___6_______.
例11 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？
解  由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.
∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-
15=15，故T的最小值是15.
例12  若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.
证  设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.
∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.
∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.  ∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1.
同理可证|a|＞1.  ∴a、b都不在-1与1之间.
例13 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？
例14 解方程
（1）|3x-1|=8        （2） ||x-2|-1|=
（3）|3x-2|=x+4      （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.
例15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.
分析  解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-
1|=1-x，故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.
第三讲  一次方程（组）
一、基础知识
1、方程的定义：含有未知数的等式。
2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。
3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。
4、字母系数的一元一次方程：ax=b。
其解的情况：
5、一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方
程。常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。
6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。
7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。
二、例题示范
例
解方程
1、
例关于x的方程中，a,b为定值，无论k为何值时，方程的解总是
2、1，求a、b的值。
提示：用赋值法，对k赋以某一值后求之。
例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a，a＇b，b＇是实数，且a和a ＇不为零，如果方程ax+b=0的解小于a/x+b＇=0的解，求a，a＇b，b＇应满足的条件。
例4 解关于x的方程.
提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就a进行讨论
例5  k为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？并求出正整数解。
提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就k进行讨论。
例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？
分析  依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式(a-1)x+ (a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，
本例的另一典型解法
例7（1989年上海初一试题），方程
并且abc≠0，那么x____
提示：1、去分母求解；2、将3改写为。
例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组：
确定3x4+2x5的值.
说明：整体代换方法是一种重要的解题策略.
例9 解方程组
提示：仿例8，注意就m讨论。
例10 如果方程组（1）的解是方程2x-y=4（2）的解，求m的值。
提示：1、从（1）中解出x,y用m表示，再代入（2）求m ；
2、在（1）中用消元法消去m再与（2）联立求出x,y，再代入（1）求m。
例11 如果方程ax+by+cz=d对一切x,y,z都成立，求a,b,c,d的值。
提示：赋值法。
例12 解方程组。
提示：引进新未知数