§2.2  30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标 
    (一)教学知识点
    1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
    2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
    3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
    (二)思维训练要求
    1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.
    2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
    (三)情感与价值观要求
    1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.
    2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点
    1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
    2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
    3.比较锐角三角函数值的大小.
教学难点
    进一步体会三角函数的意义.
教学方法
    自主探索法
教学准备
    一副三角尺、多媒体演示
教学过程
  Ⅰ.创设问题情境，引入新课
    [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
    (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)
[生]我们组设计的方案如下：
    让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
    [生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢?
    [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.
    CD＝a.则树的高度即可求出.
    [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.
    你能求出30°角的三个三角函数值吗?
  Ⅱ.讲授新课
    1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
    [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
    [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.
    [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
    [生]sin30°＝.
sin30°表示在直角三角
形中，30°角的对边与
斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝.
    [师]cos30°等于多少?tan30°呢?
    [生]cos30°＝.
    tan30°=
    [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
    [生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=,  cos60°=, tan60°＝.
    [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°－60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°－60°)=sin30°=.
    [师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角
边也为a，斜边a.由此可求得
    sin45°=,
    cos45°＝,
    tan45°=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数表格0到90
三角函数角
sinα
coα
tanα
30°
45°
1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
    为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?
    [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
    [师]再来看第二列函数值，有何特点呢?
    [生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小.
    [师]第三列呢?
    [生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.
    [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
    2.例题讲解(多媒体演示)
    [例1]计算：
    (1)sin30°+cos45°；
    (2)sin260°+ sin230°－tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值.
解：(1)sin30°+cos45°=,
(2) sin260°+ sin230°－tan45°
=.
    [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)