第四节　二次函数与幂函数
2019考纲考题考情
1．幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数。
(2)幂函数的图象比较：
2．二次函数
(1)解析式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)。
两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)。(2)图象与性质：
解析
式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)
f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)
图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)
值域
[4ac －b 2
4a
，＋∞)
(－∞，
4ac －b 2
4a
]幂函数定义
单调性
在x ∈上单调
[－b
2a
，＋∞)递增
在x ∈上单调
(
－∞，－b
2a
]
递减
在x ∈上单调
(－∞，－b
2a
]递增
在x ∈上单调
[
－b
2a
，＋∞)
递减
奇偶性当b ＝0时为偶函数
顶点(
－b 2a ，4ac －b 24a
)
对称性
图象关于直线x ＝－成轴对称图形
b
2a
与二次函数有关的不等式恒成立的条件
(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是Error!
(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是Error!(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min 。
一、走进教材
1．(必修1P 79习题T 1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点
，则k ＋α＝(  )(
1
2，
22
)
A ．
B ．1
C ．
D ．2
123
2
解析　因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1。又f (x )的图象
过点，所以α＝，所以α＝，所以k ＋α＝1＋＝
(
1
2，22
)(12)
221212。故选C 。3
2
答案　C
2．(必修1P 39B 组T 1改编)函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1，1]，则y 的最小值为________。
解析　函数y ＝2x 2－6x ＋3＝22－的图象的对称轴为(x －
32)
3
2
直线x ＝>1，所以函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，所
3
2以y min ＝2－6＋3＝－1。
答案　－1二、走近高考
3．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m (  )
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
解析　设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大
值点，则m ＝x ＋ax 1
＋b ，M ＝x ＋ax 2＋b 。所以M －m ＝x －x ＋212221a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关。故选B 。
答案　B 三、走出误区
微提醒：①二次函数解析式形式选择不恰当，致使运算量偏大；②幂函数定义不清晰，导致出错；③二次函数在给定区间上的恒成立问题忽视给定区间的作用致误。
4．已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为(  )
A ．y ＝2(x －1)2＋3
B ．y ＝2(x ＋1)2＋3
C ．y ＝－2(x －1)2＋3
D ．y ＝－2(x ＋1)2＋3
解析　设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3。故选D 。
答案　D
5．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点，则此函数的解
(
2，22
)
析式为________；在区间________上递减。
解析　设
y ＝f (x )＝x α，因为图象过点
，代入解析式
(
2，
22
)
得α＝－，则y ＝x ，由性质可知函数y ＝x 在(0，＋∞)上递减。
12
－ －
答案　y ＝x  (0，＋∞)
－
6．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________。
解析　f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－
m >0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可。因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1。由－m －1>0，得m <－1。因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)。
答案　(－∞，－
1)
考点一  幂函数的图象及性质
【例1】　(1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x n 2－3n
(n ∈Z )的
图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为(  )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
(2)若a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是(12)
(15) (1
2
)
(  )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．b ＜a ＜c 解析　(1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意。故选B 。
(2)因为y ＝x 在第一象限内是增函数，所以a ＝＞b ＝23(1
2
)
，因为y ＝x 是减函数，所以a ＝＜c ＝，所以b ＜a ＜(15)
(12)
(12)
(12)
c 。故选D 。
答案　(1)B 
(2)D
1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分
第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域。根据α＜0,0＜α