“蝴蝶定理”和四点共圆
蝴蝶定理：如图1：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．
  证明：如图2，连接OA、OP、OQ，过O点作OX⊥CD于X，OY⊥EB于Y,连接AY、AX。
  因为 OA⊥MN，由垂径定理可知：CX=XD,EY=BY.
  在四边形OXPA中，∠OAP=∠OXP=90°,于是有O、X、P、A四点共圆，从而有∠AOP=∠AXC.    (Ⅰ)
  同理可得：A、O、Y、Q四点共圆，
ox
有∠AOQ=∠AYE.(Ⅱ)
  由∠C=∠E,∠D=∠B，证得：△ADC∽△ABE，
有，根据CX=XD,EY=BY，有，
于是得出，结合∠C=∠E，
证得△AXC∽△AQE,有∠AXC=∠AYE,(Ⅲ)
综合(Ⅰ) 、(Ⅱ)、 (Ⅲ)，得出 ∠AOP=∠AOQ.①
由OA⊥MN，得知：∠OAP=∠OAQ=90°        ②
加上 OA=OA                ③
由①、②、③可以证得△OAP≌△OAQ,
由全等三角形的性质得出AP＝AQ.
无独有偶，在教学实际中笔者遇到了这样一道题：
如图3，设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．
通过对“蝴蝶定理”的证明，我们可以看出，此题是把MN由圆内移到了圆外，根据上题的思路，我们同样可以借鉴。证法简要叙述如下：
如图4所示，连接OP、OQ，过O点作OX⊥CD,OY⊥BE，垂足分别为X、Y，连接AX、AY。
由OX⊥CD，OA⊥MN，得知∠OXQ=∠OAQ
于是O、X、A、Q四点共圆
有∠AOQ=∠AXQ.
同理，O、Y、A、P四点共圆，
有∠POA=∠PYA.
由割线定理得知△ACD∽△AEB    ① 
因为OX⊥CD,OY⊥BE，根据垂径定理有CX=XD,BY=EY  ②
由①、②同样证得△ACX∽△AEY,得出∠CXA=∠EYA.
根据等角的补角相等得出∠AXQ=∠PYA，这样有∠AOQ=∠POA.
在△OPQ中，OA⊥MN，OA平分∠POQ，根据三线合一定理得知OA垂直平分PQ，
即AP＝AQ.
评析：不难看出，在证明PA=PQ的过程中，着重抓住了在同一个三角形中垂直（已知条件）和平分（求证结果）之间的内在联系，构造等腰三角形（或证明全等），从而把求证线段相等的问题转化成求两个角相等，而四点共圆的出现恰恰给我们提供了等角证明的桥梁。因此在实际证明问题的过程中，辅助线的添加总是与证明的需要相辅相成的，只要抓住问题的关键和证明的切入口，就会水到渠成。