第3章  DSP芯片的定点运算
3.1  数 的 定 标
在定点DSP芯片中，采用定点数进行数值运算，其操作数一般采用整型数来表示。一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长，一般为16位或24位。显然，字长越长，所能表示的数的范围越大，精度也越高。如无特别说明，本书均以16位字长为例。
DSP芯片的数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负，0表示数值为正，1则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此
二进制数0010000000000011b＝8195
二进制数1111111111111100b＝-4
对DSP芯片而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下，数学运算过程中的数不一定都是整数。那么，DSP芯片是如何处理小数的呢？应该说，DSP芯片本身无能为力。那么是不是说DSP芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。
通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法和S表示法两种。表3.1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。
从表3.1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。例如：
16进制数2000H＝8192，用Q0表示
16进制数2000H＝0.25，用Q15表示
但对于DSP芯片来说，处理方法是完全相同的。
从表3.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为 1/32768 = 0.00003051。因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想提高精度，则数的表示范围就相应地减小。
在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点。
浮点数与定点数的转换关系可表示为：
浮点数(x)转换为定点数()：
定点数()转换为浮点数(x)：
例如，浮点数 x=0.5，定标 Q＝15，则定点数＝，式中表示下取整。反之，一个用 Q＝15 表示的定点数16384，其浮点数为16384×2-15
＝16384/32768=0.5。

表3.1  Q表示、S表示及数值范围
Q表示
S表示
十进制数表示范围
Q15
S0.15
-1≤X≤0.9999695
Q14
S1.14
-2≤X≤1.9999390
Q13
S2.13
-4≤X≤3.9998779
Q12
S3.12
-8≤X≤7.9997559
Q11
S4.11
-16≤X≤15.9995117
Q10
S5.10
-32≤X≤31.9990234
Q9
S6.9
-64≤X≤63.9980469
Q8
S7.8
-128≤X≤127.9960938
Q7
S8.7
-256≤X≤255.9921875
Q6
S9.6
-512≤X≤511.9804375
Q5
S10.5
-1024≤X≤1023.96875
Q4
S11.4
-2048≤X≤2047.9375
Q3
S12.3
-4096≤X≤4095.875
Q2
S13.2
-8192≤X≤8191.75
Q1
S14.1
-16384≤X≤16383.5
Q0
S15.0
-32768≤X≤32767
3.2  高级语言：从浮点到定点
在编写DSP模拟算法时，为了方便，一般都是采用高级语言(如C语言)来编写模拟程序。程序中所用的变量一般既有整型数，又有浮点数。如例3.1程序中的变量i是整型数，而pi是浮点数，hamwindow则是浮点数组。
例3.1  256点汉明窗计算
int    i;
float    pi=3.14159;
float    hamwindow[256];
for(i=0;i<256;i++)  hamwindow[i]=0.54-0.46*cos(2.0*pi*i/255);
如果要将上述程序用某种定点DSP芯片来实现，则需将上述程序改写为DSP芯片的汇编语言程序。为了DSP程序调试的方便及模拟定点DSP实现时的算法性能，在编写DSP汇编程序之前一般需将高级语言浮点算法改写为高级语言定点算法。下面讨论基本算术运算的定点实现
方法。
3.2.1  加法/减法运算的C语言定点模拟
设浮点加法运算的表达式为：
float数值范围float x,y,z;
z=x+y;
将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定标值一样。若两者不一样，则在做加法/减法运算前先进行小数点的调整。为保证运算精度，需使Q值小的数调整为与另一个数的Q值一样大。此外，在做加法/减法运算时，必须注意结果可能会超过16位表示。如果加法/减法的结果超出16位的表示范围，则必须保留32位结果，以保证运算的精度。
1．结果不超过16位表示范围
设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法/减法结果z的定标值为Qz，则
z＝x+y 
=   
= 
所以定点加法可以描述为：
int x,y,z;
long temp;    /*临时变量*/
temp＝y<<(Qx－Qy);
temp＝x＋temp;
z＝(int)(temp>>(Qx－Qz)), 若Qx≥Qz
z＝(int)(temp<<(Qz－Qx)), 若QxQ≤z
例3.2  定点加法
设x＝0.5，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x+y＝0.5+3.1＝3.6;
Qx＝15，Qy＝13，Qz＝13，则定点加法为：
x＝16384；y＝25395;
temp＝25395<<2＝101580;
temp＝x+temp＝16384+101580＝117964;
z＝(int)(117964L>>2)＝29491;
因为z的Q值为13，所以定点值z＝29491即为浮点值z＝29491/8192＝3.6。
例3.3  定点减法
设x＝3.0，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x-y＝3.0-3.1＝-0.1;
Qx＝13，Qy＝13，Qz＝15，则定点减法为：
x＝24576；y＝25295；
temp＝25395;
temp＝x-temp＝24576-25395＝-819;
因为Qx<Qz，故 z＝(int)(-819<<2)＝-3276。由于z的Q值为15，所以定点值z＝-3276即为浮点值z＝-3276/32768-0.1。
2．结果超过16位表示范围
设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法结果z的定标值为Qz,则定点加法为：
int x，y；
long temp，z；
temp＝y<<(Qx-Qy)；
temp＝x＋temp;
z＝temp>>(Qx-Qz)，若Qx≥Qz
z＝temp<<(Qz-Qx)，若Qx≤Qz
例3.4  结果超过16位的定点加法
设x＝15000，y＝20000，则浮点运算值为z＝x＋y＝35000，显然z>32767，因此
Qx＝1，Qy＝0，Qz＝0，则定点加法为：
x＝30000；y＝20000；
temp＝20000<<1＝40000;
temp＝temp+x＝40000+30000＝70000;
z＝70000L>>1＝35000;
因为z的Q值为0，所以定点值z=35000就是浮点值，这里z是一个长整型数。
当加法或加法的结果超过16位表示范围时，如果程序员事先能够了解到这种情况，并且需要保证运算精度时，则必须保持32位结果。如果程序中是按照16位数进行运算的，则超过16位实际上就是出现了溢出。如果不采取适当的措施，则数据溢出会导致运算精度的严重恶化。一般的定点DSP芯片都设有溢出保护功能，当溢出保护功能有效时，一旦出现溢出，则累加器ACC的结果为最大的饱和值(上溢为7FFFH，下溢为8001H)，从而达到防止溢出引起精度严重恶化的目的。
3.2.2  乘法运算的C语言定点模拟
设浮点乘法运算的表达式为：
float x,y,z;
z = xy;
假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，则
z = xy
=
=
所以定点表示的乘法为：
int x,y,z;
long temp;
temp = (long)x;
z = (temp×y) >> (Qx+Qy-Qz);
例3.5  定点乘法
设x = 18.4，y = 36.8，则浮点运算值为z =18.4×36.8 = 677.12;
根据上节，得Qx = 10，Qy = 9，Qz = 5，所以
x = 18841；y = 18841；
temp = 18841L;
z = (18841L*18841)>>(10+9-5) = 354983281L>>14 = 21666;
因为z的定标值为5，故定点 z = 21666即为浮点的 z = 21666/32 = 677.08。
3.2.3  除法运算的C语言定点模拟
设浮点除法运算的表达式为：
float x,y,z;
z = x/y;
假设经过统计后被除数x的定标值为Qx，除数y的定标值为Qy，商z的定标值为Qz，则
z = x/y
=  
所以定点表示的除法为：
int x,y,z;
long temp;
temp = (long)x;
z = (temp<<(Qz-Qx+Qy))/y;
例3.6  定点除法
设x = 18.4，y = 36.8，浮点运算值为z = x/y = 18.4/36.8 = 0.5;
根据上节，得Qx = 10，Qy = 9，Qz = 15；所以有
x = 18841, y = 18841;
temp = (long)18841;
z = (18841L<<(15-10+9))/18841 = 308690944L/18841 = 16384;
因为商z的定标值为15，所以定点z = 16384即为浮点 z = 16384/215= 0.5。
3.2.4  程序变量的Q值确定
在前面几节介绍的例子中，由于x、y、z的值都是已知的，因此从浮点变为定点时Q值很好确定。在实际的DSP应用中，程序中参与运算的都是变量，那么如何确定浮点程序中变量的Q值呢？
从前面的分析可以知道，确定变量的Q值实际上就是确定变量的动态范围，动态范围确定了，则Q值也就确定了。
设变量的绝对值的最大值为，注意必须小于或等于32767。取一个整数n，使它满足
则有
Q = 15-n
例如，某变量的值在-1至＋1之间，即<1，因此n = 0，Q＝15-n = 15。