1、 考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数，由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和。假设可以，不失一般性，于是得到：
   
2、 将后面的正弦函数展开：
傅里叶变换公式原理
于是得到：
那么如何计算an,bn,a0这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。
上面的这些积分为0被称之为正余弦函数的正交性。这些证明很简单，可惜当初学习正余弦函数的时候可能遇到过，但是却不知道这些东西能干什么用。下面的处理手段凸显了大师的风范：
如果我们队原函数进行如下积分，得到很神奇的东西：
后面的积分很明显是0，于是我们求出了a0的值。
那么如何求出an,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。
利用三角函数的正交性，可以得到：
再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到bn,
于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现A0/2而不是直接的A0的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。
通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。
到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多，他们
需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet的家伙证明出如下结论：
有兴趣的可以继续书看，可惜我有兴趣没时间····
至此以2π为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该不会这么凑巧是2π，于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2π周期函数的基础之上的。
也就是说如何让一个以2l为周期的函数变成一个以2π为周期的函数，于是乎可以使用z=2π*x/(2l),这样就z就是一个以2π为周期的函数了，于是乎得到如下公式：
 傅里叶函数看起来其实还是比较复杂的，有没有一种更简单的表达形式来表示呢。既然提出这个问题，肯定是有的，我个人猜想肯定是复变函数大师在挖掘复变函数的时候，用复变函数去套用经典的傅里叶变换，偶然间发现的······
一个基本的欧拉公式eiθ=cosθ +i*sinθ,这个很容易可以从复数的几何意义上得知，我们通过取两个互为相反数的θ可以得到两个式子，进而可以得到cos 和 sin 的复数表达形式：