第 6 章 积分变换
积分变换就是通过含参变量积分 ()(,)()d b
a
F s K s x f x x
=
ò 将一个已知函数 ) (x f 变为 另一个函数 ) (s F ．积分变换理论不仅在数学诸多分支中得到广泛应用，而且在许多科学技 术领域中，例如：物理学，力学，现代光学，无线电技术和信号处理等方面，作为一种研究 工具发挥着重要作用．傅里叶变换和拉普拉斯变换是最重要的积分变换．
6.1 傅里叶变换
在讨论傅里叶变换之前，我们有必要先来回顾一下傅里叶级数展开．
6.1.1 傅里叶级数
1804 年，傅里叶首次提出“在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为
单纯的正弦与余弦之和” ，但并没有给出严格的证明．1829 年，由法国数学家狄利克雷 （Dirichlet ）证明了下面的定理，为傅里叶级数奠定了理论基础．
定理 6．1 设 ) (t f T 是以T 为周期的实值函数，且在[ 2
,2 T
T - ]上满足狄利克雷条件， 即 ) (t
f T 在[ 2
,2 T
T - ]上满足 （1） 连续或只有有限个第一类间断点， （2） 至多只有有限个极值点． 则在 ) (t
f T 连续点处有 å +¥
= + + = 1
0 0 0
) sin cos ( 2 ) ( n n n T t n
b t n a a t f w w ， （61）
其中
T
p w 2 0 = ，
2 0 2
2 ()d T
T T a f t t T - = ò ，
2 0 2 2 ()cos d T
T n T a f t n t t T - = ò w ， 2 0 2
2 ()sin d T
T n T b f t n t t T - = ò w (1,2,) n = L ．
在间断点 0 t 处，（61）式左端为 00 1
[(0)(0)] 2
T T f t f t ++- ．
我们称（61）式为傅里叶级数的三角形式．
由于正弦函数与余弦函数可以统一地由指数函数表示， 因此我们可以得到另外一种更为 简洁的形式，即傅里叶级数的复指数形式，具体形式如下
0 () jn t T n n f t c e w +¥
=-¥
= å ，
（62）
2 2
1 ()d T jn t
T n T c f t e
t T w - = ò (0,1,2) n =±± L ．
（63）
其中 n a ， n b ， n c 的关系由欧拉公式 0 00 cos sin jn t
e
n t j n t ± =± w w w (1) j =
- 可知： 0
0 , 2
a c =
2 n n n a jb c - =
， 2
n n
n
a j
b
c - + = (1,2,) n = L ．
傅里叶级数有非常明确的物理意义．事实上，在（6．1）式中，令
0 2
a A =
， 22 n n n A a b =+ ， cos n
n n a A q =
， sin n n n b A
q - = (1,2,) n = L ，
则（61）式变为
å
+¥
= - + = 1
0 0 0 ) sin sin cos (cos ) ( n n n T t n t n A t f w q w q å +¥
= + + = 1
0 0 ) cos(
n n n t n A A q w ． 如果以 ) (t f T 代表信号，则上式说明，一个周期为T 的信号可以分解成无穷多种频率成 份的简谐波的叠加．这些谐波的频率基频 0 w 的倍数．由此可见，信号 ) (t f T 本身不含有各 种频率成份，而仅由一系列具有离散频率的谐波所构成，其中 n A 反映了频率为 0 n w 的谐波 在 ) (t f T 中所占的份额，称为振幅； n q 则是频率为 0 n w 的谐波沿时间轴移动的大小，称为相 位．这两个指标完全刻画了信号 ) (t
f T 的形态． 再来看看（62）式，由 n c 与 n a 及 n b 的关系可得
00 c A = ，arg arg n n n c c q - =-= ，
22
1 22
n n n A c c a b - ==
+= (1,2,) n = L ．
因此 n c 作为一个复数，其模与辐角正好反映了频率为 0 n w 的简谐波的振幅与相位，其 中振幅 n A 被平均分配到正负频率上，而负频率的出现完全是为了数学表示的方便，它与正 频率一起构成同一个简谐波． 因此， 仅由系数 n c 就可以完全刻画了信号 ) (t f T 的频率特性． 我 们称 n c 为周期函数 ) (t f T 的离散频谱， n c 为离散振幅谱，arg n c 为离散相位谱．为进一步 明确 n c 与频率 0 n w 的对应关系，常常记 0 () n F n c w = ．
例 1 脉冲矩形波的信号函数 ) (t f 是以2p 为周期的周期函数，它在[,] p p - 上的表达 式为
1,0
() 1,0 t f t t p p ì--£< ï = í
<£ ï î
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解
由定理 6．1 可得
1 0 = w ， 0 0 = a ， 0 = n a (1,2,) n =
L ， 0 1
2 ()sin sin n b f t ntdt ntdt p
p
p p p
- =
=
òò 0 22 (cos )(1cos ) nt n n n =-=- p
p p p
4
,1,3,5,, 2 [1(1)] 0,2,4,6,. n n n n n ì = ï =--= í ï = î
L
L p p 于是，函数 ) (t f 的傅里叶级数的三角形式为 å ¥
= - - =
1 1 2
) 1 2 sin( 4
) ( n n t
n t f p ． 例 2 求以T 为周期的脉冲信号函数
0,20 () 2,02 T T t f t t T ì -<< ï = í
<< ï î
的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式．
解 令 T
p
w 2 0 =
，当 0 = n 时， = = ) 0 ( 0
F c 220
2
1
1 ()d 2d 1; T T
T T f t t t T
T - == ò
ò ;
当 0 ¹ n 时，
) ( 0 w n F
c n = 0 2 2 1 ()
d T
jn t
T T f t e t T - - = ò w 0 20
2 d T jn t e t T w - = ò (1) jn j e n p p - =- 2 ,1,3,5,, 0,2,4,6,. j
n n n p
ì -= ï = í ï = î
L L 脉冲信号函数 ) (t
f T 的傅里叶级数的复指数形式为 0 (21) 2 ()1 (21) j n t T n j
f t e n w p +¥
- =-¥ - =+ -
å
． 6.1.2 傅里叶积分与傅里叶变换
通过前面的的讨论，我们知道了一个周期函数可以展开为傅里叶级数，那么，对非周期 函数是否同样适用呢？请看下面的案例分析．
[引例 6．1] 如何将非周期函数 ) (t f 展开为傅里叶级数呢？ 分析
对于一般的非周期函数 ) (t f ，我们可以另外定义一个相应的周期函数 ) (t f T ，
使它在一个周期 ]2
,
2 [ T
T - 上与周期函数 ) (t f 完全相同，其余区间上按周期T 延拓出去，即 (),[2,2], () (),[2,2].
T T f t t T T f t f t T t T T ì Î- ï = í
+Ï- ï î 显然，其周期T 取得越长，周期函数 ) (t f T 越接近非周期函数 ) (t f ，设想让周期T 趋于无 穷大时，我们定义的周期函数 ) (t
f T 就完全等于非周期函数 ) (t f ，即 ()lim () T T f t f t ®+¥
= ．可 见非周期函数可以看作周期为无穷大周期函数．这是解决问题的核心思想．
1．傅里叶积分公式
将非周期函数 ) (t f 看作是由周期函数 ) (t f T 当T ®+¥时转化来的， 有 （62） 式与 （63） 式有
()lim () T T f t f t ®+¥ = 00 2
2 1 lim [()d ] T jn jn t
T T T n f e e T
+¥
- - ®+¥
=-¥ = å ò w t w t t 0
2 0
2 lim
[
()d ] 2
T jn jn t T T T n f e e +¥
- - ®+¥
=-¥
= å ò w t w w t t p ．
当T 趋于无穷大时，频率间隔 T
p
w 2 0 =
变成无穷小的频率微分d w ，离散频率 0 n w 变 成连续变化的频率 n w ，记 0 w w =D ， 0 n n w w = ，得
2 2
周期信号的傅里叶变换公式0 1
()lim [()d ] 2 n n T j jn t T T n f t f e e w t w w t t w p +¥ - - D ® =-¥ =× D å ò ．
这是一个和式的极限，按照积分定义，在一定条件下，上式可写为
1 ()[()d ]d
2 j j t
f t f e e wt w t t w p
+¥+¥ - -¥-¥ =
òò ． （64）
由此得到下面的定理．
定理 6．2（傅氏积分定理） 如果 ) (t f 在 ) , ( +¥ -¥ 上的任一有限区间满足狄利克雷条件， 且在 ) , ( +¥ -¥ 上绝对可积（即
()d f t t +¥
-¥
<+¥ ò
）
，则（6．4）式成立．在 ) (t f 的间断点 处，（64）式的左端应为 00 1 [(0)(0)] 2
T T f t f t ++- ．
称（64）式为傅里叶积分，简称傅氏积分． 2． 傅里叶变换 从（64）式出发，令
()()d j t F f t e t w w +¥
- -¥
= ò ,
（65）
则有
1 ()()d
2 j t f t F e w w w p +¥
-¥
= ò ．
（66）
可以看出，由（65）式与（66）式定义了一个变换对，即对于任一已知函数 ) (t f ，通 过指定的积分运算，可以得到一个与之对应的函数 () F w ； 而由 () F w 通过类似的积分运算， 可以回复到 ) (t f ．它们具有非常优美的对称形式，并且还具有明确的物理意义和极好的数 学性质．由于它们是从傅里叶级数得来的，因此我们给出如下定义．
定义 6．1 称（65）式为傅里叶变换（简称傅氏变换），其中函数 () F w 称为 ) (t f 的 像函数，记为 ()[()] F f t w =F ；称（66）式为傅里叶逆变换（简称傅氏逆变换），其中函 数 ) (t f 称为 () F w 像原函数，记为 1 ()[()] f t F - =w F ．
这样， ) (t f 与 () F w 构成一个傅氏变换对．与傅里叶级数一样，傅氏变换也明确的物
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