第三章  傅里叶变换
3-1  概述
对于一件复杂的事情，人们总是从简单的一步开始做起，富丽堂皇的高楼大厦，是人们一块砖一块砖垒起来的。为了简化问题的求解，人们往往也使用“变换分析”这种技巧，所起“变换”大家可能会感到陌生，其实我们在中学时已经运用了“变换分析”技巧，大家一定还记得对数运算，它实际上也是一种数学变换，我们知道两个数的乘积的对数等于两个数的对数和，两个数的商的对数等于这两个数的对数差，利用对数这个运算规则我们可以将数的乘积运算转换（准确地说变换）为数的加法运算，可以将数的除法运算转换（变换）为数的减法运算，可见“变换分析”给我们解决问题带来了方便，傅里叶变换就是给我们分析问题和解决问题极为方便的数学工具。
线性非时变系统的卷积分析实际上是基于将输入信号分解为一组加权延时的单位冲激（或样值）激励的线性组合。本章将讨论信号和系统的另一种表示，其基本观点还是将信号分解为一组简单函数的线性组合，但是这里用的简单函数不是单位冲激（或样值）而是三角函数（或复指数函数）。
用“三角函数和”表示信号的想法至少可以追溯到古代巴比伦时代，当时他们利用这一想法来预测天体运动。这一问题的近代研究始于1748年，欧拉在振动弦的研究中发现：如果在某一时刻振动弦的形状是标准振动（谐波）模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也是这些振动模的线性组合。另外，欧拉还证明了在该线性组合中，其后的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中导出。欧拉的研究成果表明了：如果一个线性非时变系统输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式。
图3-1Jean Baptiste Joseph Fourier
傅里叶（1768~1830）
现在大家已经认识到，很多有用的信号都能用复指数函数的线性组合来表示，但是在18世纪中期，这一观点还进行着激烈的争论。1753年D.伯努利（D.Bernoulli）曾声称：一根弦的实际运动都可以用标准（谐波）振荡模的线性组合来表示。而以J.L.拉格朗日(J.L.Lagrange)为代表的学者强烈反对使用三角级数来研究振动弦运动的主张，他反对的论据就是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。
正是在这种多少有些敌意和怀疑的情形下，傅里叶于约半个世纪后提出了自己的想法。
说起傅里叶，多少具有一些传奇彩 [4]。傅里叶于1768年生于法国的奥塞尔，他是他父亲的第十二个孩子，他母亲的第九个孩子。在他九岁的时候，他的母亲去世了，随后的一年他的父亲也去世了，尽管他的两个年幼的兄妹被遗弃到了育婴堂（可见他生活的艰辛），但他一
直未中断在学校的学习，1780年他进入了奥塞尔皇家军事学院，13岁的傅里叶在那儿迷上了数学，他常在夜间偷偷地到教室，在烛光下刻苦学习。
傅里叶在学术上的成就赢得了当地主教的青睐，傅里叶毕业后就进入了教会，就在他宣誓就任神职前，法国的大革命爆发了。傅里叶同大多数人一样，投身于建立“一个不受国王和教士操纵的自由政府”的事业，1793年他加入了奥塞尔的革命委员会。在罗伯斯庇尔政府倒台后，傅里叶曾两次被捕，险些被送上断头台。
傅里叶在拿破仑时代被任命为伊泽尔河部的地方长官，从政14年。尽管傅里叶担任着行政长官职务，但他从未放弃对科学和数学研究的兴趣，在这期间他构思了三角级数的想法，这为以后当他从行政职务中退出时的科学研究工作奠定了基础。1807年傅里叶完成了一项研究工作，他发现表示一个物体温度分布时，成谐波关系的正弦函数级数是非常有用的，他断言：“任何”周期信号都能用这样的级数来表示。尽管傅里叶本人对傅里叶级数的数学理论没有做出多大的贡献，但正是因为傅里叶洞察到三角级数的潜在威力，并且在很大程度上由于他的工作和断言，才激励和推动了傅里叶级数问题的深入研究。此外，傅里叶还指出了非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信号的加权和，而是不全成谐波关系正弦信号的加权积
分，他的这一观点比他的任何先驱者都大大地进了一步。遗憾的是由于拉格朗日的反对，傅里叶的这一研究论文从未公开发表过，直到1829年（晚了15年）傅里叶才把他的研究成果发表在“热的分析理论”一书中。
尽管傅里叶分析起源于傅里叶之前，并且在傅里叶之后也有许多科学家对其理论进行了完善和发展，但毫无疑问的是傅里叶本人作为这个分析理论的逻辑起点是无可非议的。傅里叶对数学、科学和我们的日常生活做出的不可估量的影响是有口皆碑的，然而他的伟大贡献在他生前并没得到充分的肯定。
傅里叶分析是数学分析中的重要内容，这里引用傅里叶对“数学分析”作出的论述：
傅里叶变换公式表信号与系统数学分析……规定了所有可发现的关系，测量了时间、空间、力和温度。这一高深难懂的科学发展得非常缓慢，但一旦它得到发展，便不会被遗弃……