傅立叶变换乘积定理的证明
傅立叶变换乘积定理是傅立叶变换的重要定理，它指出，如果两个函数f(x)和g(x)的傅立叶变换分别为F(u)和G(u)，那么它们的乘积函数h(x)=f(x)g(x)的傅立叶变换H(u)就是F(u)和G(u)的卷积：
H(u)=F(u)*G(u)=∫-∞∞F(v)G(u-v)dv
傅立叶变换乘积定理的证明可以从傅立叶变换的定义出发，即：
F(u)=∫-∞∞f(x)e-iuxdx
G(u)=∫-∞∞g(x)e-iuxdx
将F(u)和G(u)代入h(x)，可以得到：
H(u)=∫-∞∞h(x)e-iuxdx
=∫-∞∞f(x)g(x)e-iuxdx
=∫-∞∞∫-∞∞f(v)g(x-v)e-iuxdx dv
=∫-∞∞f(v)∫-∞∞g(x-v)e-iuxdx dx dv
=∫-∞∞f(v)e-iuv∫-∞∞g(x)e-iuxdx dx dv傅里叶变换公式证明
=∫-∞∞f(v)e-iuvG(u)dv
=F(u)*G(u)
以上就是傅立叶变换乘积定理的证明。
傅立叶变换乘积定理是傅立叶变换的重要定理，它提供了一种将两个函数的乘积转换为它们的傅立叶变换的卷积的方法，这种方法在信号处理、数学物理学等领域有着广泛的应用。