知识梳理与应用
主要考察一：幂指对函数的定义
幂函数：；
指数函数：；
对数函数：.
基础1：已知函数是指对幂函数，求参数/求解析式等
【例1】（2020·上海市复兴高级中学高一期中）★★☆☆☆
已知函数，其中是指数函数．
（1）求的表达式；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据指数函数的定义，有，结合求a，写出；
（2）由（1）的结论，结合对数函数的性质及其单调性列不等式组求解集即可.
【详解】
（1）是指数函数，所以，解得或(舍)，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，解得，解集为.
【练习】（2019·上海市七宝中学高一开学考试）★★☆☆☆
已知函数是幂函数，且，则的解析式为________.
【答案】
【详解】
设，
，
，
即，则，，
即，故答案为.
基础2：求定义域
【例2】（2021·上海杨浦区·复旦附中高一期末）★☆☆☆☆
函数的定义域为____.
【答案】
【详解】
对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
【练习】（2017·上海市新中高级中学高一月考）★★☆☆☆
函数的定义域为__________.
【答案】
【详解】
函数的自变量满足：，
解得即 .
故答案为：.

主要考察二：幂指对函数的图像与性质
1、幂函数的图像与性质
幂函数在第一象限的图像
的图像：
（1）总在第一象限有图像，且总过定点；
（2）有意义时，总过定点；
（3）在第一象限，当时，总是随着的（严格）增加而（严格）增加；当时，总是随着的（严格）增加而（严格）减少.
且当时：指数函数定义
（4）当为偶数时，图像关于轴对称；当，均为奇数时，图像关于原点中心对称.
2、指对数函数的图像与性质
指、对数函数的图像