三角函数的图象与性质
一．课标要求：
1．能画出y =sin x , y =c os x , y =t a n x 的图像，了解三角函数的周期性；
2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点等）；
3．结合具体实例，了解y =A sin （w x +φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =A sin （w x +φ）的图像，观察参数A ，w ，φ对函数图像变化的影响。 二．命题走向
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
预测07年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像
变换）；
2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y =A sin （w x +φ）的图象及其变换； 三．要点精讲
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2．三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++23222ππππk k ，)(Z k ∈；
x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，
-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，
)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA
最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω
π
2=T ，频率是π
ω
2=
f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2
Z k k x ∈+=+π
πϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都
是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点
的横坐标变为原来的
ω
1
倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω
1
三角函数诱导公式教案倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)
或向右(ϕ＜0＝平移ω
ϕ|
|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻“五点”中的第一零点（－ω
ϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况准．．第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0)    k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；
对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数，并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：
五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2
π
3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。 四．典例解析
题型1：三角函数的图象
例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（    ）
解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，
2
π
）时，y ＝－xc os x ＜0。答案为D 。 题型2：三角函数图象的变换
例2．试述如何由y =3
1sin （2x +3
π
）的图象得到y =sin x 的图象。 解析：y =3
1sin （2x +
3
π
） ）
（纵坐标不变倍
横坐标扩大为原来的3
πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y  x y sin 313π
=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移
x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变
倍
纵坐标扩大到原来的
另法答案：
（1）先将y =3
1sin （2x +
3π）的图象向右平移6π个单位，得y =3
1
sin2x 的图象； （2）再将y =31
sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =3
1
sin x 的图象；
（3）再将y =3
1
sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到
y =sin x 的图象。
例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2
π
个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（    ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0      B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0      D ．－(y +1)sin x +2y +1=0
解析：将原方程整理为：y =
x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2
π
个单位
和1个单位，因此可得y =
)
2
cos(21π
-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.
点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）c os （x －2
π
）+2（y +1）－1=0，即得C 选项。 题型3：三角函数图象的应用
（ωx +ϕ）例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，
求
直线
y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A =2，T =
27π－（－2
π
）=4π，
∴ω=
21，∴y =2sin （2
x
+ϕ）， 又由图象可得相位移为－
2π，∴－2
1ϕ=－2π
，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）。
根据条件3=2sin （421π+x ），∴421π+x =2k π+3π(k ∈Z )或4
21π+x =2k π+32
π（k
∈Z ），
∴x =4k π+
6π
（k ∈Z ）或x =4k π+6
5π（k ∈Z ）。 ∴所有交点坐标为（4k π+
3,6
π
）或（4k π+
3,6
5π
）（k ∈Z ）。 点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型4：三角函数的定义域、值域
例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域； （2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。
解析：（1）0≤c os x ＜1⇒2k π－
2π≤x ≤2k π+2
π
，且x ≠2k π（k ∈Z ）。 ∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－
2π，2k π+2
π
］且x ≠2k π，k ∈Z }。 （2）由sin （c os x ）＞0⇒2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。
图
又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。 故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－
2π，2k π+2
π），k ∈Z }。 点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角
函数线。
题型5：三角函数的单调性 例6．求下列函数的单调区间： （1）y =2
1sin （
4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4
π）｜。 分析：（1）要将原函数化为y =－2
1
sin （3
2x －4
π）再求之。
（2）可画出y =－|sin （x +4
π
）|的图象。 解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4
π）。 故由2k π－
2π≤32x －4π≤2k π+2
π
。 ⇒3k π－
8π3≤x ≤3k π+8
π
9（k ∈Z ），为单调减区间； 由2k π+
2π≤32x －4π≤2k π+2
π
3。 ⇒3k π+
8π9≤x ≤3k π+8
π21（k ∈Z ），为单调增区间。 ∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8
π
9］， 递增区间为［3k π+8π9，3k π+8
π21］（k ∈Z ）。 （2）y =－|sin （x +
4π）|的图象的增区间为［k π+4π，k π+4π3］，减区间为［k π－4
π，k π+4
π］。
题型6：三角函数的奇偶性
例7．（2001上海春）关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题： ①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使f （x ）是奇函数；