第四部分  级数
知识要点：
一、常数项级数收敛的判定方法：
㈠定义法：如果级数的部分和数列有极限，即，则称无穷级数收敛，这时极限叫做此极限的和，并写成，如果没有极限，则称无穷级数发散
㈡级数收敛的必要条件：如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即
注意：在用定义法判别无穷级数是否收敛时，要充分用上面两项条件。
级数的一般项趋于零不是级数收敛的充分条件，某些级数虽然一般项趋于零，但是级数仍是发散的。
在判定的时候最好是先看其一般项是否趋于零。
Eg:讨论无穷级数幂函数求导公式的证明的收敛性
  等比级数和高中学习的一样，当公比是时，收敛；当公比是时，发散
⑴证明：级数是发散的。
定义法：由于此级数是等差级数，所以的部分和为
所以
根据定义可知该无穷等差级数为发散的
用定义的必要条件来判断：此级数的一般项为，则
所以级数一定发散。
⑵判断无穷级数的收敛性
一般项，所以该数列可能是收敛的，再看部分和是否收敛
所以此级数收敛。
⑶判定调和级数的敛散性
  所以该数列可能是收敛的，再看部分和是否收敛
用反证法证明：若此级数收敛，并设部分和为，且，显然，对此级数的部分和，也有，，所以
但是在另一方面
  即
与假设级数收敛矛盾，故此级数发散。
㈢正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。
㈣比较审敛法：设和都是正项级数，且，若级数收敛，则级数收敛，反之，若级数发散，则级数也发散。
讨论级数的收敛性，其中常数
结论：级数当时收敛，当时发散
注意：此种级数很重要，要熟记
Eg:证明级数的敛散性
因为
是调和级数，故是发散的
也是发散的
㈣比较审敛法的极限形式：设和都是正项级数，且
①若，且级数收敛，则级数收敛
②若,且级数发散，则级数发散
Eg:判别级数的收敛性
因为
但是级数是发散的，故级数也是发散的。
㈤比值审敛法：设为正项级数，若
①，级数收敛；
②，级数发散；
③，不做讨论，因为可能发散，也可能收敛。
Eg:判定级数的敛散性
故此级数是收敛的
判定级数的敛散性
故此级数是发散的。
㈥根值审敛法（不做要求，了解即可）：设为正项级数，若