基本初等函数的导数公式的推导过程
函数的导数表示了函数在其中一点上的变化率，是微分学中的一个重要概念。基本初等函数的导数公式是指一些常见的函数在其定义域上的导数。
一、常数函数的导数公式的推导过程：
设常数函数f(x)=c，其中c为常数。
根据导数的定义，f(x)的导数为f'(x) = lim[h→0] [(f(x+h) - f(x))/h]
将f(x)代入上式，得到f'(x) = lim[h→0] [(c - c)/h]
化简得f'(x) = lim[h→0] [0/h]
根据极限的性质，这里的极限等于0，因此f'(x)=0
所以常数函数的导数为0。
二、幂函数的导数公式的推导过程：
设幂函数f(x)=x^n，其中n为常数。
使用导数的定义，f(x)的导数为f'(x) = lim[h→0] [(f(x+h) - f(x))/h]
将f(x)代入上式，得到f'(x) = lim[h→0] [((x+h)^n - x^n)/h]
利用二项式定理展开(x+h)^n，得到f'(x) = lim[h→0] [((x^n + C(n,1)x^(n-1)h + C(n,2)x^(n-2)h^2 + ... + h^n) - x^n)/h]
化简得f'(x) = lim[h→0] [C(n,1)x^(n-1) + C(n,2)x^(n-2)h + ... + C(n,n)h^(n-1)]
幂函数求导公式的证明
根据极限的性质，只有当h的指数小于1时，极限才存在。因此只有当i的值小于n时，C(n,i)x^(n-i)h^i存在于极限中。所以f'(x)=C(n,1)x^(n-1)。
即幂函数x^n的导数为nx^(n-1)。
三、指数函数的导数公式的推导过程：
设指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0。
使用导数的定义，f(x)的导数为f'(x) = lim[h→0] [(f(x+h) - f(x))/h]
将f(x)代入上式，得到f'(x) = lim[h→0] [(a^(x+h) - a^x)/h]
利用指数的性质，a^(x+h)可以表示为a^x * a^h，得到f'(x) = lim[h→0] [(a^x * a^h - a^x)/h]
利用指数函数的定义，可以得到lim[h→0] [(a^x * (a^h - 1))/h]
再利用极限的性质，得到lim[h→0] [a^x * lim[h→0] [(a^h - 1)/h]]
对于lim[h→0] [(a^h - 1)/h]，这是常见函数a^h = e^(hlna)的极限，因此这里的极限等于lna，所以f'(x) = a^x * lna
即指数函数a^x的导数为a^x * lna。
四、对数函数的导数公式的推导过程：
设对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1
使用导数的定义，f(x)的导数为f'(x) = lim[h→0] [(f(x+h) - f(x))/h]
将f(x)代入上式，得到f'(x) = lim[h→0] [(log_a(x+h) - log_a(x))/h]
利用对数的性质，log_a(x+h)可以表示为log_a(x) + log_a(1+h/x)，即f'(x) = lim[h→0] [((log_a(x) + log_a(1+h/x)) - log_a(x))/h]
化简得f'(x) = lim[h→0] [log_a(1+h/x)/h]
再利用极限的性质，得到lim[h→0] [(log_a(1+h/x))/h]
引入自然对数函数ln，得到lim[h→0] [(ln(1+h/x))/(lna * h)]
利用极限的性质和ln函数的性质，得到lim[h→0] [(1/x) * ln(1+h/x)]/lna
根据极限的定义，lim[h→0] [(1/x) * ln(1+h/x)] = ln'(1) = 1，所以f'(x) = 1/(x * lna)
即对数函数log_a(x)的导数为1/(x * lna)。
根据以上推导过程，可以得到基本初等函数的导数公式：
常数函数f(x)=c的导数为f'(x)=0
幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)
指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * lna
对数函数f(x) = log_a(x)的导数为f'(x) = 1/(x * lna)。