第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。
2.2设二维随机向量服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设的均值向量为，协方差矩阵为，则其联合分布密度函数为
。
2.3已知随机向量的联合密度函数为
其中，。求
（1）随机变量和的边缘密度函数、均值和方差；
（2）随机变量和的协方差和相关系数；
（3）判断和是否相互独立。
（1）解：随机变量和的边缘密度函数、均值和方差；
     
所以
由于服从均匀分布，则均值为，方差为。
同理，由于服从均匀分布，则均值为，方差为。
（2）解：随机变量和的协方差和相关系数；
（3）解：判断和是否相互独立。
和由于，所以不独立。
2.4设服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。
解： 因为的密度函数为
又由于
则
则其分量是相互独立。
2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为 
注：利用  ,      S  其中
在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。
              图2.1  Descriptives对话框
2. 单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。
       
  图2.2 Options子对话框
3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
      表2.1  样本均值向量
在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：
1. 选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。
         
    图2.3 Bivariate Correlations对话框
2. 单击Options按钮，打开Options子对话框。选择Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。
             
    define的基本用法图2.4 Options子对话框
3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。）
       
2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；
2.7 设总体服从正态分布，，有样本。由于是相互独立的正态分布随机向量之和，所以也服从正态分布。又
所以。
2.8    方法1：
       
         
             
              。
方法2：
     
     
     
     
  。
故为的无偏估计。
2.9.设是从多元正态分布抽出的一个简单随机样本，试求的分布。
证明： 设
为一正交矩阵，即。
令，
所以。且有
，，。
所以独立同分布。
又因为
因为
又因为
所以原式
故，由于独立同正态分布，所以
2.10.设是来自的简单随机样本，，
（1）已知且，求和的估计。
（2）已知求和的估计。
解：（1），
    (2) 
解之，得
，
第三章
3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。