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一种基于复相关技术的频率估计方法
孙星亮1，孙钢锋2
（1. 西安电子科技大学 外设部设备研究所，陕西 西安 710071；
2. 湖北黄冈师范学院 计算机系，湖北 黄冈 438000）
摘 要 提出了一种适用于声学多普勒测速的复相关技术频率估计方法。通过阐述了该方法的原理及其实现，表明该方法符合声学多普勒测速原理的要求，且运算量小，易于实现。仿真结果表明，该方法受噪声影响小，测量结果的误差小。因而该方法在声学多普勒测速技术中具有良好的应用前景。
关键词 多普勒效应；复相关；特征函数 中图分类号 TB56 1 引 言
声学多普勒测速技术是一种相对成熟的声学测速技术，其测速精度高、工作深度深，并能在浅水中进行应用。众所周知，多普勒测速的基本原理是运用多普勒效应进行测速的，即通过测量发射和接收信号的频率偏移从而得出舰船的速度。因而频率估计方法选取的好坏在多普勒测速中显得尤为关键。
声波信号在海洋环境中传播过程中衰减很快，回波信号中夹杂了大量的海洋噪声，而传统的过零检测频率估计法对噪声比较敏感，而且当观察长度较短时，时间量化误差较大。由于多普勒计程仪使用的短发射脉冲，并且多普勒频移通常比较小，因此经典的频率分析方法——离散傅里叶变换受到其频率分辨力（N f f s =Δ，其中s f 为采样频率）的影响变得不适用。为此笔者介绍了一种基于谱矩理论的复相关测频技术来估计瞬时频率，信噪比影响小，测频误差小，并且运算量较小。
2 复相关测频技术原理
由于一个随机变量x 的矩
()n n x m =E （1） 与其特征函数()x φ的导数有关，可以得到n 阶矩与特征函数的关系[1]：
()0
d d n
x n n n t t j m t φ=⋅=
（2）
那么对一个随机复信号()t X 的角频率变量ω也
是随机，它的一阶矩由其特征函数()t ωφ的导数得到：
[]()0
d 1d t t j t ωφω==⋅
E （3）
角频率变量ω的特征函数()t ωφ由其分布函数()ωF 的傅里叶逆变换可以得到：
()()1exp(j )d 2πt t F ωφωω∞
−∞
=∫ （4） 其中角频率变量ω的分布函数()ωF ，可以由下式得到：
()()()d 0S F R ω
ωωω−∞
=
∫ （5） ()ωs 为角频率变量ω的谱密度，根据Wiener-
Kihnchine 定理：
()()exp(j )d s R ωτωττ∞
−∞
=
−∫ （6）
所以 ()()()()
1
exp(j )d 2π0t t F R R φωωτ∞
−∞==
∫ （7） 取平均角频率ω可以由ω的一阶矩得到
[]ωω=E （8）
由式（3）、式（7）和式（8）得
()()
01j 0d
R d R τττω=⎡⎤⎣⎦=⋅ （9） 又由于2πf ω=，所以
()0d
1d j 2π0R f R τττ=⎡⎤⎣⎦=
⋅⋅ （10） 电子科技 2005年第7期（总第190期）
一种基于复相关技术的频率估计方法
电子科技/2005年7月15日
将复相关函数()τR 表示为极坐标形式：
()()()exp j 2πR A g τττ=⋅⎡⎤⎣⎦ （11）
其中 ()τA 为τ的实偶函数，()τg 为τ的实奇函数。
当0=τ时，()τg 为τ的实奇函数，则()00=g ，
那么 ()()00R A =
因而 ()()()()()000
d d 0d d d
0d R A g R g τττττττττ====⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⋅
⎡⎤⎣⎦ （12）
所以 ()0d d f g τττ==⎡⎤⎣⎦ （13）
特别的，对小的0≠s τ，有
()()()()00d d s s s s
g g g g τττττττ=−≈=⎡⎤⎣⎦ （14） 因此得到
()1ˆArg 2πs s
f
R ττ=⎡⎤⎣⎦ （15） 其中，Arg 为求表达式角度。
函数()τg 对于对称的功率谱是一个τ的线性函数，得到平均频率就是信号的中心频率，并且是一个渐进无偏估计[2]。在多普勒测速中，对于单个回波信号，信道是平稳的，即信号是平稳的。而回波信号的功率谱与波束图是大致相同，即信号的功率谱仍是一个对称的功率谱，故而用平均频率f .来估计回波信号的中心频率是无偏的。因此，用式（15）就可以得到多普勒测速中回波信号的中心频率。
3 复相关测频方法的实现
当对于一个复过程()t X 的观测值包含有间隔为s τ秒的样本对()n X ，()1+n X 时，一种对()τR 的最大似然估计器为
()()()n X n X N
R N
n s *
1
11
∑=+=
τ （16）
这就形成了一种对中心频率的归一化估计算
法的基础，由式（15），（16）得出f ˆ为 ()()()()*1**11*1(1)()1
ˆtan 2π(1)()(1)()sin 1tan 2π(1)()cos m n
s e n n n n
s
n n n I X n X n f
R X n X n X n X n X n X n τϕϕτϕϕ−+−+⎡⎤
+⎢⎥=⎢⎥
+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
+−⎢⎥=
⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑（17） 其中m I 和e R 是复乘积的虚部和实部，()n X *是()n X 复共轭表示，n ϕ是复平面的矢量角度，并且函数1
tan −的返回值在π2−到π+之间。
在运用式（17），可以有两种实现方法。设
()n n jI R n X +=，其中n R 为复信号的实部，n I 为复信号的虚部，则式（17）可改写为
11ˆtan 2πn n I n
s R n S f S τ−⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑∑ （18） 其中 1
11
1+++++=−=n n n n R n n n n I I I R R S R I I R S n n （19）
利用式（18），（19）即可获得频率估计f
ˆ。 也可以利用式（20），求得频率估计序列n f ，再利用式（21）对频率序列n f 作平均，最终获得中心频率f ，即
11tan 2πn n I n s
R S f S τ−=
（20）
∑==
N
n n
f
N
f 1
1
（21）
在实现时，可以利用无线电上的正交调解技术，得到信号的实部和虚部，其原理图见图1，再运用式（18）和式（19）或者式（20）和（21）来得到信号的频率。
图
1 正交解调原理框图
一种基于复相关技术的频率估计方法
IT Age/ Jul. 15, 2005
这时式（18）变成了
()()1sin 2π1ˆtan 2πcos 2πs n
s s n fn f fn τττ−⎡⎤
frequency函数计算频数
Δ⎢⎥=⎢⎥Δ⎢⎥⎣⎦
∑∑ （22） 这时测量得到结果的直接是信号的频移f Δ的中心频率估计。
由式(18)，(19)或式(20)，(21)可知，在一次复相关法测量中，包含5次乘除，2次加减，1次反正切和1次象限判断，可见复相关法运算量很小，
而且复相关测频方法实现比较容易，因而它可以得到较好的应用。
4 模拟试验结果及分析
用正弦信号加白噪声进行计算机模拟，主要考察在不同信噪比情况下，采用过零检测法和复相关法进行测频，并对得到的测频结果进行分析。
设回波信号模型为()()()cos 2πs X n fn f e n =+，12,1,0−=N n " ，其中()n e 为方差2σ，均值为零的
高斯白噪声，N 决定数据长度，2σ决定（SNR ）信噪比的大小。回波信号频率f 的范围为6650~
7350Hz ，采样频率s f 为19600Hz （约为2.8倍的采样），0f 为7000Hz ，低通滤波器为4阶的ButterWorth 滤波器，SNR 分别为20，10，0dB 的条件下，测量
得到频率的误差和标准差。
（a ） SNR 为20dB 时，频率的误差和标准差
（b ） SNR 为10dB 时，频率的误差和标准差
（c） SNR 为0dB 时，频率的误差和标准差
图2 频率的误差和标准差图
由图2可看出，总体上复相关法受信噪比影响小，测量结果的误差和标准差都较小。但是在信噪比降低时，复相关法的误差和标准差也会有所加大，而且在低信噪比时，在信号频率f 远离0f 时，即频移比较大时，测量的误差和标准差就会有所增加。这是由于：
若当信号中夹杂白噪声()n e 时，有式（17）和
（18）可得到f
ˆΔ为 频率的误差/H z
f /Hz
频率的误差/H z
f /Hz
频率的误差/H z
f /Hz
频率的误差/H z
f /Hz
频率的误差/H z
f /Hz
频率的误差/H z
f /Hz
一种基于复相关技术的频率估计方法
电子科技/2005年7月15日
()()()11sin 2π11ˆA rg tan 2π2πcos 2πs n s s s s n fn f R fn τττττ−⎡⎤
Δ⎢⎥Δ==⎡⎤⎣⎦⎢⎥Δ⎢⎥⎣⎦
∑∑（23） 跟方差2σ无关，因而理论上复相关法不受信噪比的影响，实际上由于信号经过低通滤波后，白噪声信号()n e 变为带宽为BW （BW 为低通滤波器的带宽）的窄带白噪声信号()n e ′，这时
()()()()()22121ˆA rg 2π11sin 2πsin 2π142tan 112πcos 2πcos 2π42s s
s s n
n s s s
n n f R fn K fn fn K fn τττστττστ−Δ=⎡⎤⎣⎦⎡⎤
Δ+Δ⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
Δ+Δ⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑（24） 其中()sin ππs s n BW K n BW
ττ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。 因而当2
σ值小时，即信噪比高时，分子和分母
中的第二项都比较小，因而对测量误差小，当2σ值增大时，信噪比低，分子和分母中的第二项也都就随着增大，因而测量的结果就不准确了。当K 值不变时，式（24）就可以近似成了
1
22ˆ2141ˆf K f Δ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+=Δσ （25） 由上可知1
ˆf Δ对f ˆΔ的估计是一种无偏估计，因而式（25）中用2
ˆf
Δ对f ˆΔ的估计是一种有偏的，随着f Δ增加，测量误差相应的加大了，因而在f Δ比较大时，对测量的结果影响比较大，这一点在值较大时，更加明显。
在式（24）中，还可以看出当采样周期s τ取得
合适的情况，式中K 值就会很小，这样2
σ值与f
Δ值对测量结构的影响就会减弱，甚至可以忽略。
因此为了提高复相关法的测频精度可以采取一些以下措施：1）
．考虑到噪声和频移的影响，在测量时对测量结果进行一定补偿；2）．在满足采样定理的条件下，选取合适采样周期s τ。
5 结 论
提出了一种基于谱矩理论的复相关频率估计方法，该方法符合声学多普勒测速原理，它受噪声影响小，测频误差小，运算量很小，能比较容易实现，因而复相关频率估计方法在声学多普勒测速具有良好的应用前景。 参考文献
1 毛用才, 胡奇英. 随即过程. 西安: 西安电子科技大学出版社,1998.
2 Sirmans D, Bumgarner B. Numerical Comparison of Five Mean Frequency Estimators, September, 1975.
3 竺春. 多普勒计程仪若干关键技术问题研究. 北京: 中国科学院数学与系统科学研究所, 2000, 12: 104～107.
作者简介
孙星亮（1981—），男，西安电子科技大学外设部设备研究所硕士研究生。研究方向：从事声学多普勒测速技术——信号处理技术研究。
孙钢锋（1972—），男，湖北黄冈师范学院计算机系讲师。研究方向：从事网络安全与多媒体等计算机技术研究。
A Frequency Estimate Method Based on Complex-Correlation
Sun Xingliang 1, Sun Gangfeng 2
(1. Research Institute of Peripheral, Xidian University, Xi’an 710071, China;
2. Computer Department of Huanggang Normal College, Hubei 438000, China)
Abstract The paper presents a method for frequency estimate based on complex-correlation, which is applicable to the testing of the velocity of the acoustical Doppler effect. By presenting the principle of the method and its realization, this paper proves that the method meets the velocity testing principle of the acoustical Doppler effect and that the method has the advantages of low operation and easy realization. Simulation experiments show that noise has little effect on the method and therefore errors in measurements by this method is small.
Keywords doppler effect; complex-correlation; eigenfunction
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