（二）二叉树期权定价模型
1.单期二叉树定价模型
期权价格=×+×
U：上行乘数=1+上升百分比
d：下行乘数=1-下降百分比
【理解】
风险中性原理的应用
其中：
上行概率=（1+r-d）/（u-d）
下行概率=（u-1-r）/（u-d）
期权价格=上行概率×C u/（1+r）+下行概率×C d/（1+r）
【教材例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。
【答案】
U=1+33.33%=1.3333
d=1-25%=0.75
=6.62（元）
【例题•计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40%，或者降低30%。无风险利率为每年4%。
要求：利用单期二叉树定价模型确定期权的价值。
【答案】期权价格=（1+r-d）/（u-d）×C u/（1+r）=（1+4%-0.7）/（1.4-0.7）×7/（1+4%）=3.27（元）
2.两期二叉树模型
（1）基本原理：由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。
【教材例7-11】继续采用[例7-10]中的数据，把6个月的时间分为两期，每期3个月。变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。
【解析】
P=(1+1%-0.816)/(1.2256-0.816)=0.47363
C U=23.02×0.47363/(1+1%)=10.80
C d=0
C0=10.80×0.47363/(1+1%)=5.06二叉树公式
（2）方法：
先利用单期定价模型，根据C uu和C ud计算节点C u的价值，利用C ud和C dd计算C d的价值；然后，
再次利用单期定价模型，根据C u和C d计算C0的价值。从后向前推进。
3.多期二叉树模型
（1）原理：从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进，只不过多了一个层次。
（2）股价上升与下降的百分比的确定：
期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年报酬率的标准差不变。
把年报酬率标准差和升降百分比联系起来的公式是：
u=1+上升百分比=
d=1−下降百分比=
其中：e-自然常数，约等于2.7183；
σ-标的资产连续复利报酬率的标准差；
t-以年表示的时段长度
【教材例7-10】采用的标准差σ=0.4068
U===1.333
该数值可以利用函数计算器直接求得，或者使用Excel的EXP函数功能，输入0.2877，就可以得到以e为底、指数为0.2877的值为1.3333。
d=1÷1.3333=0.75
【教材例7-11】
采用的标准差σ=0.4068
U==1.2256
d=1÷1.2256=0.816
【教材例7-12】利用[例7-10]中的数据，将半年的时间分为6期，即每月1期。已知：股票价格S0=50元，执行价格为52.08元，年无风险利率为4%，股价波动率（标准差）为0.4068，到期时间为6个月，划分期数为6期（即每期1个月）。
（1）确定每期股价变动乘数。
U===1.1246
d=1÷1.1246=0.8892
【注意】计算中注意t必须为年数，这里由于每期为1个月，所以t=1/12年。
（2）建立股票价格二叉树
表7-11 股票期权的6期二叉树单位：元序号0123456时间（年）00.0830.1670.2500.3330.4170.500
上行乘数  1.1246
下行乘数0.8892
股票价格5056.2363.2471.1279.9889.94101.15
44.4650.0056.2363.2471.1279.98
39.5344.4650.0056.2363.24
35.1539.5344.4650.00
31.2635.1539.53
27.8031.26
24.72
（3）按照股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值二叉树
序号0123456
执行价格52.08
上行概率0.4848
下行概率0.5152
买入期权价格5.308.5213.2619.8428.2438.0449.07
2.30  4.117.1612.0519.2127.90
0.61  1.26  2.61  5.3911.16
0000
000
00
【提示】运用风险中性原理的关键是计算概率。概率的计算有两种方法：
（1）直接按照风险中性原理计算
期望报酬率=（上行概率×股价上升百分比）+下行概率×（-股价下降百分比）
【教材例题】
4%÷12=上行概率×12.46%+（1-上行概率）×（-11.08%）
上行概率=0.4848
下行概率=1-0.4848=0.5152
（2）概率的计算也可以采用下式
上行概率：P=
下行概率：1−P=
P===0.4848
【例题•计算题】假设A公司的股票现在的市价为40元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为40.5元，到期时间是1年。根据股票过去的历史数据所测算的连续复利报酬率的标准差为0.5185，无风险利率为每年4%，拟利用两期二叉树模型确定看涨期权的价格。
要求：
（1）若保证年报酬率的标准差不变，股价的上行乘数和下行乘数为多少？
（2）建立两期股价二叉树与两期期权二叉树表；
股价二叉树
时间（年）
股价二叉树
期权二叉树
时间（年）
期权二叉树
（3）利用两期二叉树模型确定看涨期权的价格。
（4）已知连续复利终值系数如下：
t0.30.40.50.60.70.8
e0.5185  1.3284  1.3881  1.4429  1.4943  1.5431  1.5900【答案】
（1）上行乘数u====1.4428
下行乘数d=1÷1.4428=0.6931
（2）（3）
股价二叉树
时间00.51
股价二叉树40.0057.7183.27
27.7240.00
19.22
期权二叉树
时间00.51
期权二叉树7.8118.2842.77
00
【解析】
解法1：
上行概率=（1+无风险期利率-d）/（上行乘数-下行乘数）
=（1+2%-0.6931）/（1.4428-0.6931）=0.4360
解法2：
2%=上行概率×44.28%+（1-上行概率）×（-30.69%）
上行概率=0.4360
下行概率=1-0.4360=0.5640
C UU=83.27-40.5=42.77
C u=（上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值）÷（1+持有期无风险利率）=（0.4360×42.77+0.5640×0）/（1+2%）=18.28（元）
C d=（上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值）÷（1+持有期无风险利率）=0期权价格C0=（0.4360×18.28+0.5640×0）/（1+2%）=7.81（元）