美式期权定价——常⽤⽅法和应⽤
这篇⽂章总结了⼏种定价美式期权的⽅法并且提供了相应的模板。欧式期权普遍交易于商品市场。它具有闭合定价公式，该公式由传统的Black-Scholes模型推导得出，该公式在电⼦表格程序和编程语⾔中很容易得以实现。但在交易所交易得最多的是美式期权。美式期权可以在到期⽇之前⾏权，这带来更多灵活性的同时也给发⾏期权⽅带来了更多风险，这也意味着美式期权⽐欧式期权有更⾼的价格。美式期权没有闭合解，但是它有不少数值⽅法和近似解，下⾯就介绍了⼀些最常⽤的⽅法。以及在QuantPlus Analytic中利⽤相应⽅法计算得出的结果。 Barone-Adesi & Whaley近似法这个⽅法将美式期权的价值分成两个部分，第⼀部分是欧式期权的价值，第⼆部分是提前⾏权的价值。第⼆部分可以通过偏微分⽅程来解得，Barone-Adesi & Whaley⽤了⼀个⼆项式来估算，因此这个⽅法⼜被称为⼆项式⽅法(Quadratic Method)。这个估算的模型可以被⽤于付连续红利、常红利、离散红利的期权。详细的内容可参见: “Efficient analytic approximation of american option values”, Journal of Finance 42, 301-320. C code for the Barone-Adesi & Whaley approximation。⼆叉树模型法⼆叉树模型模拟出股票价格在⼀段时间内的价格，这就让它们⾮常适合定价允许提前⾏权的美式期权。⼆叉树（三叉树）计算⽅法包含以下步骤： 1.建⽴⼀个股票价格的⼆叉树模型。在树的每⼀个节点，价格可以上涨或下跌； 2.计算期权在到期⽇的价格。 3.期权在到期⽇之前的任意价格可以通过回溯的⽅法计算。 Cox-Ross-Rubinstein 模型 Cox, Ross and Rubinstein⼆叉树有如下公式
这⾥p、u、d的唯⼀解确保了在短时间间隔内⼆叉树模型能匹配⽆风险世界中资产的均值和波动率，此外这也确保了在多步骤的模型中标的资产的价格是关于其起始价格 S0对称的。多步⼆叉树模型下⾯⽤⽰例描述了两步的⼆叉树模型资产演化模型：由上图可得知资产在下⼀个时间段有向上的价格 Su 或者向下的价格 Sd。第⼆个时间段, 资产价格 Su 可能会有两个价格 Suu 或者 Sud。第⼀个时间段向下的价格 Sd 会有价格 Sdu 或者 Sdd。如果 Sud=Sdu 该资产价格会再重合。由以上CRR公式可以产⽣⼀个再重合的树形结构，该结构在多个时间段的情况下就会产⽣如下的树形结构，会围绕价格S0上下波动。从今天开始到到期⽇，时间段被分成很⼩的时间步。未来资产的演化树结构可以被计算显⽰出来。每个树形结构的每个点称为⼀个节点。该树形结构每个节点就是从今天开始到未来任意时刻资产的价格演化。计算到期时的回报计算期权价格的第⼆步是计算在到期⽇每⼀个节点的回报，这对应着在⼆叉树最右端所有的节点。总体来说计算回报是基于很多不同的因素的，⽐如计算call和put期权可以⽤以下标准公式：其中
二叉树公式
贴现回报定价期权的第三步是⽤⼆项模型将期权在到期⽇的回报贴现到今天。这个可以通过向后归纳完成，由后往前在各个⽹格通过按顺序计算。具体可参照⼀下公式：其中：注意此处的n是从到期时间N到今天的时间0. ⼆叉树优点如下：但是⼆叉树不能得出完全准确的期权价值（因为它们是离散的）,⽽且它们还假设了常波动率。