快速傅⾥叶变换（MATLAB实现）
⼀、快速傅⾥叶介绍
傅⽴叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表⽰为不同频率的余弦（或正弦）波信号的⽆限叠加。FFT是离散傅⽴叶变换的快速算法，可以将⼀个信号变换到频域。那其在实际应⽤中，有哪些⽤途呢？
1.有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征（频率，幅值，初相位）；
2.FFT可以将⼀个信号的频谱提取出来，进⾏频谱分析，为后续滤波准备；
3.通过对⼀个系统的输⼊信号和输出信号进⾏快速傅⾥叶变换后，两者进⾏对⽐，对系统可以有⼀个初步认识。
假设采样频率Fs，信号频率F，信号长度L，采样点数N。那么FFT之后结果就是⼀个为N点的复数。每⼀个点就对应着⼀个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。
具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？
1. 假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第⼀个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍，⽽第⼀个点就是直流分量（即0Hz），它的模值是直流分量的N倍；
2. 每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第⼀个点表⽰直流分量，它的相位是该频率的初相位，matlab以cos为底的，若信号时正弦形式sin(t)，则变成cos(t-pi/2)即可。
采样频率Fs，被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。为了⽅便进⾏FFT运算，通常N取⼤于信号长度L的2的整数次⽅。
例如某点n所表⽰的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上⾯的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N。如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz。如果采样2秒时间的信号，则N为2048，并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。
如果要提⾼频率分辨⼒，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
假设FFT之后某点n⽤复数a+bi表⽰，该复数的模就是An=sqrt（a*a+b*b），相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n 点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)；对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即
为A1/N。
由于FFT结果的对称性，通常我们只使⽤前半部分的结果，即⼩于采样频率⼀半的结果。
⼆、例⼦
假设我们有⼀个信号，它含有5V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为7V的交流信号以及⼀个频率为90Hz、相位为90度、幅度为3V的交流信号。数学表达式为：
x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t - 30*pi/180) + 3*cos(2*pi*40*t - 90*pi/180)。
我们以128Hz的采样率对这个信号进⾏采样，总共采样256点。按照我们上⾯的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是0.5Hz。我们的信号有3个频率：0Hz、15Hz、40Hz
出于编程⽅便，因为直流分量的幅值A1/N，其他点幅值为An/(N/2)，故直流分量最后要除以2才是对的。
⼀般FFT所⽤数据点数N与原含有信号数据点数L相同，这样的频谱图具有较⾼的质量，可减⼩因补零或截断⽽产⽣的影响。
三、Matlab代码
matlab求傅里叶变换
clear
Fs = 128;      % 采样频率
T = 1/Fs;      % 采样时间
L = 256;        % 信号长度
t = (0:L-1)*T; % 时间
x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t - 30*pi/180) + 3*cos(2*pi*40*t - 90*pi/180);  %cos为底原始信号
y = x + randn(size(t));    %添加噪声
figure;
plot(t,y)
title('加噪声的信号')
xlabel('时间(s)')
>> N = 2^nextpow2(L); %采样点数，采样点数越⼤，分辨的频率越精确，N>=L，超出的部分信号补为0 Y = fft(y,N)/N*2;  %除以N乘以2才是真实幅值，N越⼤，幅值精度越⾼
f = Fs/N*(0:1:N-1); %频率
A = abs(Y);    %幅值
P = angle(Y);  %相值
figure;
subplot(211);plot(f(1:N/2),A(1:N/2));  %函数fft返回值的数据结构具有对称性，因此我们只取前⼀半
title('幅值频谱')
xlabel('频率(Hz)')
ylabel('幅值')
subplot(212);plot(f(1:N/2),P(1:N/2));
title('相位谱频')
xlabel('频率(Hz)')
ylabel('相位')