4．3.2　对数的运算
1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．
2．掌握换底公式及其推论．
3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
1．对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)log a (M·N)＝log a M ＋log a N ；
(2)log a ＝log a M －log a N ；
M N (3)log a M n ＝nlog a M (n∈R )．
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．
2．对数换底公式
若c>0，且c≠1，则log a b ＝(a>0，且a≠1，b>0)．
logcb logca 3．由换底公式推导的重要结论
(1)log an b n ＝log a b.
(2)log an b m ＝log a b.
m n (3)log a b·log b a ＝1.
(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.
1．我们知道a m ＋n ＝a m ·a n ，那么log a (M·N)＝log a M·log a N 正确吗？举例说明．
[答案]　不正确，例如log 24＝log 2(2×2)＝log 22·log 22＝1×1＝1，而log 24＝2
2．你能推出log a (MN)(M>0，N>0)的表达式吗？
[答案]　能．令a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN＝a m ＋n ，由对数定义知，log a M ＝m ，
log a N ＝n ，log a (MN)＝m ＋n ，
∴log a (MN)＝log a M ＋log a N
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(  )
(2)log a (xy)＝log a x·log a y.(  )
(3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．(  )
(4)由换底公式可得log a b ＝.(  )
log (－2)b
log (－2)a [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　
(4)×
题型一对数运算性质的应用
【典例1】　求下列各式的值：
(1)log 345－log 35；
(2)log 24·log 28；
(3)lg14－2lg ＋lg7－lg18；
73(4)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
23[思路导引]　解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应．
[解]　(1)log 345－log 35＝log 3＝log 39＝log 332＝2.
455(2)log 24·log 28＝log 222·log 223＝2×3＝6.
(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.
(4)原式＝2lg5＋lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2
23＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2
＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2
＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
[针对训练]
1．计算：
(1)log 535－2log 5＋log 57－log 51.8；
73(2)log 2＋log 212－log 242－1；
74812(3)lg －lg ＋lg .
1232494
38245[解]　(1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)
＋log 57－log 5＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.
9
5(2)原式＝log 2＋log 212－log 2－log 22log ln lg的互换公式
7
4842＝log 2＝log 2
7×12
48×42×2122
(3)解法一：原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)
1243321
2＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5
5212＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.
121212121
2解法二：原式＝lg －lg4＋lg7＝lg 427542×75
7×4
＝lg(×)＝lg ＝.
25101
2题型二对数换底公式的应用
【典例2】　(1)计算：①log 29·log 34；
②.log52×log79
log513×log734(2)证明：①log a b·log b a ＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；
②log an b n ＝log a b(a>0，且a≠1，n≠0)．[思路导引]　利用换底公式计算、证明．
[解]　(1)①原式＝·＝lg9lg2lg4lg3lg32·lg22
lg2·lg3
＝＝4.
2lg3·2lg2lg2·lg3②原式＝·＝log ·log 9
log52
log513log79log73413234＝·＝＝－.lg 2lg 13lg9lg 3412lg2·2lg3－lg3·23lg232(2)证明：①log a b·log b a ＝·＝1.
lgb lga lga
lgb ②log an b n ＝＝＝＝log a b.
lgbn lgan nlgb nlga lgb
lga [变式]　(1)若本例(2)①改为“log a b·log b c·log c d ＝log a d”如何证明？
(2)若本例(2)②改为“log an b m ＝log a b”如何证明？
m n [证明]　(1)log a b·log b c·log c d
＝··＝＝log a d.
lgb lga lgc
lgb lgd lgc lgd
lga (2)log an b m ＝＝＝log a b.
lgbm lgan mlgb nlga m
n  应用换底公式应注意的2个方面
(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．
[针对训练]  2.
·等于(  )(log227)A.    B.  C ．6
D ．－6
2332[解析]
　[答案]　D
3．log 2·log 3·log 5＝________.
1251819[解析]　原式＝··lg
125lg2lg 18lg3lg 19lg5＝＝－12.
(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2lg3lg5[答案]　－12
题型三对数的综合应用
【典例3】　(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原
来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？13(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
(2)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645.
[思路导引]　应用换底公式化简求值．
[解]　(1)设最初的质量是1，经过x 年，剩余量是y ，则：
经过1年，剩余量是y ＝0.75；
经过2年，剩余量是y ＝0.752；
…