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在二维周期性多孔软结构中由于屈曲导致的几何构型压实:孔洞形状的影响
自适应结构会带来戏剧性形状改变，这为设计有响应且可重构的设备带来前所未有的机遇。人造变形和可折叠的结构已经可以通过传统地使用由机械接头连接坚硬的成分进行组装，这在小尺度上，可以产生一种在制造业方面非常具有挑战性的方法。形成对比的是，在自然界中有很多关于自适应软结构的例子：触碰含羞草叶子的时候它们会合拢，金星捕蝇草通过其叶片的开闭来捕捉猎物，以及利用鱿鱼在力学性的扩张和收缩来对麻布袋着可以导致其颜的动态变化。用新的方法来应用这些自然界的设计准则可以产生一种新奇响且可重构的设备.通过机械不稳定性诱发的可折叠机械软结构能在一个较宽的长度范围内制造简单的折纸材料。还有很多有趣的且吸引人的应用，例如活泼材料的请求式药物运输；有趣的及可重构的显示器和机器人,它们能够通过小孔隙来挤压它们自己以及进入到密封的空间中.
通过谨慎设计得到的软结构可以有效地改变它们的架构，从而对多种多样的刺激产生反应，为可重构的装置打开通道,以此来改变它们的形状,从而对它们所在的环境产生响应或作出改变。最近，二维周期性多孔结构由于其令人瞩目的晶体转变能力而广受关注，该种转变是观
察经典几何作为力学不稳定性的结果。当达到一个临界的外加应力时，一个具有开圆孔的弹性正方形板被发现突然具有了交替的周期方向的转变模式,即形成相互正交的椭圆（如图2A）。这种行为被证明可以为设计具有可调谐的负泊松比的材料，声子开关以及可改编程序的多彩的显示器提供了机会.但是，到目前为止，仅仅研究了那些开圆形和椭圆形孔洞的结构的力学响应。但对于孔洞形状对结构响应的影响，还未被探索。
形状在设计材料及工程设备的性能中起到了非常重要的作用。计算机分析，被熟知用于形状和拓扑优化,常规地，在一些约束下尝试获得最佳形状，以此来改善结构的某些性能。在此研究中，我们将会从理论以及实验上，研究在软基质中正方排列孔洞的非线性响应。发现，孔洞形状可以提供一个参数来控制软性多孔系统引人注目的特征,例如它们的压实特性（被量化作为结构二维面积被原始面积划分的变化)以及负的泊松比（虽然,泊松比被严格地下了定义在线弹性框架范围内，这里我们延伸概念到有限弹性并且用它来量化材料的横(收）缩/扩展）。我们的结果显示小孔形状能够被有效地用来设计那些欲得性质的材料并且为一种柔软的,活跃的以及在一个长度尺寸的长度范围的重构设备新种类的发展铺设道路.
在线翻译英文翻译  这里，我们关注四倍对称的孔洞以及利用傅里叶级数扩展来描述它们的轮廓，如：
,，
with
此处，且引入这三个参数来控制孔洞的尺寸大小（r0)及形状（c1和c2).当式1中c1=c2=0时，即提供了一个半径为r0的圆,通过变化的c1和c2，可以得到很多种类的形状,就像图1所示的那样。因此，在最优化方面，c1和c2提供了一个结构压缩过程中由于其几何构型可能导致相关变形效果的二维设计空间.
为了明确形状对材料的力学响应所带来的效果,我们关注一个孔洞的特殊形状并且已知各孔洞在正方形板上的排布情况,可以发现，r0与来自下式中结构孔隙率 有关：
                                         
其中，L0表示在未变形的结构中相邻两孔洞圆心之间的距离。注意的是，为保证结构的完整性,c1和c2的值必须在以下范围内选择：
,
在非线性材料响应上,c1和c2在广泛的数值上的研究的结果将会在其它地方说明,这里我们将关注两种形状带来的显著地定性和定量的不同行为，突出孔洞形状所起到的重要性作用。
由定义的带有圆孔的软结构的响应，与由及定义的带孔结构的相应响应相对比（如图1）。可以注意到的是在三种结构孔隙率带来的轻微变化与在制造过程中的有限精确度有关。
图1 左:通过式1获得的形状以及c1=c2=0.3：0.1:0.3，且保持r0为常数;右：在本工作中提及到的三种代表性体积单元(RVEs），形状定义为，及
图2 在不同应用的工程应力水平下 =0，—0.125及-0。25，结构A，B和C的实验(顶部）及数值（底部）图像
由8×8的单位胞元组成的弹性体结构在物理上和数值上的模型（或者代表性体积单元，RVEs)安排在一个已建的正方形板上，该列阵如图2(a)和(d）所示。所有的这三种结构通过在垂直方向上单向压缩来确保准静态的条件.并在不同已知工程应变 (计算随着由原始高度划分结构高度的改变）水平的测试过程中，拍下代表性时刻的照片,如图2所示，展示了实验数据和仿真数据极好的一致性。首先,我们观察到，当压缩应变达到临界值的时候，材料发生屈曲，导致了材料微观结构发生急剧及戏剧性的变化。如图2（b)和(e)中我们能够清楚地看到，当应变 =—0.125时，所有的三种结构都已经发生了屈曲。令人瞩目的是，孔洞的形状被发现在不稳定性方面有很大的影响.在结构A和结构B中，临界不稳定性有以下几个特点，在垂直和水平两个方向波长等于2L0，波长导致了棋盘形式的构成（如图2(b）和（e）)。波长等于在结构C中所观察例子大小的屈曲模式与其在形状记忆合金的奥氏体向马氏体的相转变中被观察到的双晶形成对比.一旦材料成型加工，新的形式转变为实际应变增量的加重，如图2(c）和（f）所示.令人瞩目地，在未加载之后,孔洞的初始形状往往会大面积恢复,不管应用的变形的数量。此外，通过对图2的观察可以发现，孔洞的形状不仅仅影响了结构的屈曲，也有类似侧面收缩和压实的令人瞩目的变形特点.当结构A和B的孔洞的终止以及被观察到明显的侧边收缩在 =—0.25时，导致了一个折叠的情况以大约40%的面
积减少为特。形成对比的是,在结构C中，一个值得瞩目的更小的面积变化在 =-0。25处被发现，突出了微观不稳定性在其中扮演的重要角(不稳定性伴随着波长即微观结构的尺寸的顺序）在新奇的，软的和可折叠系统中的设计。最终，在 =-0.25时，结构A和B中的图案的对比清楚地显示了，圆孔不再导致最理想的压缩；一个最佳折叠结构，使结构B中被发现的开口最小化，证明了有意义的影响：孔洞的形状是在可折叠软结构的设计中.
我们使用极速原型设计技术来制造样本，它由软树脂基体橡胶制造得到。结构由一个带有8×8正交孔洞的正方形板组成.并且，为了降低边界效应，靠近边界的代表性单元只保留一半.当正方形板的厚度大约为15mm时，所有结构相邻孔心之间的距离为L0=10mm.硅橡胶印模材料被用作制造这些结构，大多数材料在单轴拉伸测试中显示，当使用一个杨氏模量为190kPa且不可压缩的Neo—Hookean模型时，其伸长响应达到2时可以被很好的捕获。如此,结构在20mm/min这个恒定的速度被压缩，此时一段录像将被捕获且被一个对着试样的高分辨率数码照相机所录制。在测试面外屈曲被组织时，用一个后面的金属板支撑试样(观察实验部分获得更多的细节）.
为了更加全面的理解孔洞形状对于材料响应的影响,执行数值仿真时使用非线性有限单元编
码ABAQUS/显式。使用二次三角形平面应变单元(ABAQUS单元类型为CPE6M）并且通过网格细化来保证网格的精确度，从而获得一个每RVE（代表性单元）大约800到1250个单元的相对网格密度。在第一阶屈曲模态形成中的一个缺陷（由一个线性屈曲分析决定）被引进来排斥因随一个不稳定变形路径仿真的可能性。通过监控运动能量和引进一个小的阻尼系数来确保准静态的情况。在仿真模拟中，试样和水平固定装置之间夹紧这一情况被假定简化在实验中发生无黏合剂摩擦的边界条件。
在这篇文章中，一个更加定量在结构的响应对比的研究通过检查应力的演变过程，负泊松比和在实验和仿真过程中压缩的监控这些做到。图3（a)阻止了正应力S的演变过程（通过划分利用初始交叉可组合面积得到的总作用力）作为应用工程应变 的功能。从所有三种结构中，我们观察到一种带有三种独特组织的实体单元的典型行为：一个线弹性的制度，一个其后跟着的应力平台，以及深层压缩导致的密实化.离开线性是屈曲导致的结果，并且与一个在周期性模式中突然的转变相一致，就像展示在不同应变水平(图2）使结构变形的快照那样.最终，在高应变,因为孔洞的边界相互接触而导致其重复的坍塌，导致应力应变曲线最后陡峭部分的上升。虽然，所有我们的结构都是以一个非常类似的初始弹性响应为特点，它们的非线性程度很强,并且它被发现很强的依赖孔洞的形状。
我们很惊讶的发现，最小的多孔结构（例如结构C）是以最低的屈曲应力为特的.这个发现能够清楚地证明，在结构A和B中屈曲观察是与在自然界即结构C是不同的，而且,孔洞的形状对于力学不稳定性有着很强烈的影响。结构A和B都是以微观不稳定性为特点的，从C中也能观察到一种微观不稳定性（例：不稳定性伴随着一个比微观结构尺寸更大的波长）.
图3 （a)三种结构的实验和数值获得的应力应变曲线。实线表示实验结果且虚线表示数值模拟；（b)9个代表性单元的中心区域的原理图；（c)泊松比作为的函数的演变
为了监视微观结构的演变过程，我们关注样本（9个代表性单元)中心部分的力学变形行为，此处的材料响应清晰地更均衡并且没有收到边界条件的影响。9个中心代表性单元的制高点用黑点标记（如图3(b)），并且它们的位置用一个高分辨率的数码相机进行记录，然后用数字影像程序进行分析（Matlab）。为了每个代表性单元,工程应变的局部值,和，从标记的位置被计算，和，如:
此处i,j=1，2，3且L0=10mm表示在未变形的结构中标记之间的距离，工程应变的局部值被用来计算泊松比的局部值，计算公式如下：
且用压缩量表示如下:
和表示初始和当前［i—th,j—th]代表性单元。九个中心代表性单元被计算时的总体评价值，，。
泊松比的演变作为在图3（c)中提供的局部工程应变的函数。结构C和结构A和B之间的不同之处是很显著的；在结构A和B中，可以观察到由屈曲引起的显著的侧边收缩,最终将会导致泊松比的负值，结构C中的泊松比只是少量地受变形和屈曲影响。此外，很有趣的是，可以观察到在结构B中的侧边收缩明显比在结构A中观察到的要大，这导致了更大的泊松比负值.
三种结构中压缩值的演变（如图3（d)）显示了与泊松比演变的相同特征。在结构A和B中,微观的不稳定性被发现导致了一个在压缩上有效的增长，展示了屈曲在新型软的可折叠系统设计中起到的重要作用。从图2和3中可以清楚地看到,使用力学不稳定性和不同的孔洞形状，材料和设备能够在设计特殊面积上被有才华的设计，形状改变来作为对外部刺激的响应，为新奇的活跃的及软的可折叠结构打开通道。